Soit $E = C^{1} ([0, 1], R)$ muni de la norme $‖ . ‖_{\infty}$ et ${(T_{n})}_{n \in N }$ la suite définie par
$\begin{aligned} T_{n} : E & ⟶ R \\ f & ⟼ T_{n} f . = n (f (\frac{1}{n}) - f (0)), n \in N^{} \end{aligned}$
1) Montrer que $T_{n}$ est continu
2) Poun $f \in E$ , colculer $Lim T_{n} (f)$ steinhous

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$lim_{n \to \infty} T_{n} (f) = lim_{n \to \infty} n (f (\frac{1}{n}) - f (0)) = f^{'} (0)$

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Step 1 ： $\forall ϵ > 0, \exists δ > 0 : \forall f, g \in E, ‖ f - g ‖_{\infty} < δ \Rightarrow ‖ T_{n} (f) - T_{n} (g) ‖ < ϵ$

Step 2 ： $‖ T_{n} (f) - T_{n} (g) ‖ = | n (f (\frac{1}{n}) - f (0)) - n (g (\frac{1}{n}) - g (0)) | = n | f (\frac{1}{n}) - f (0) - g (\frac{1}{n}) + g (0) | \leq n ‖ f - g ‖_{\infty}$

Step 3 ： $lim_{n \to \infty} T_{n} (f) = lim_{n \to \infty} n (f (\frac{1}{n}) - f (0)) = f^{'} (0)$

Soit E=C1([0,1],R) muni de la norme ‖.‖∞ et (Tn)n∈N∗ la suite définie parTn:E⟶Rf⟼Tnf.=n(f(1n)−f(0)),n∈N∗1) Montrer que Tn est continu2) Poun f∈E, colculer LimTn(f) steinhous

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