Pour tout \( x \in \mathbb{R} \), on pose :
\[
A(x)=\cos \left(x+\frac{\pi}{2}\right)+\sin \left(x+\frac{\pi}{2}\right)+\cos \left(x-\frac{\pi}{2}\right)-\sin \left(x-\frac{\pi}{2}\right)
\]
1. Montrer que: \( A(x)=2 \cos (x) \)
2. Résoudre dans \( \mathbb{R} \) l'équation \( A(x)=\sqrt{2} \)
3. Résoudre dans l'intervalle \( ]-\pi ; \pi] \) l'inéquation \( A(x)< \sqrt{2} \)
Answer
2\cos(x)<\sqrt{2} \Rightarrow -1<\cos(x)<\frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow x\in ]-\pi, \frac{-3\pi}{4}] \cup ]\frac{-\pi}{4}, \frac{\pi}{4}] \cup [\frac{3\pi}{4}, \pi]
Step 1 ：\cos\left(x+\frac{\pi}{2}\right)=-\sin(x), \sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right)=\cos(x), \cos\left(x-\frac{\pi}{2}\right)=\sin(x), -\sin\left(x-\frac{\pi}{2}\right)=-\cos(x)
Step 2 ：A(x)=-\sin(x)+\cos(x)+\sin(x)-\cos(x)=2\cos(x)
Step 3 ：2\cos(x)=\sqrt{2} \Rightarrow \cos(x)=\frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+2k\pi \text{ or } x=-\frac{\pi}{4}+2k\pi \Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+k\pi
Step 4 ：2\cos(x)<\sqrt{2} \Rightarrow -1<\cos(x)<\frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow x\in ]-\pi, \frac{-3\pi}{4}] \cup ]\frac{-\pi}{4}, \frac{\pi}{4}] \cup [\frac{3\pi}{4}, \pi]
