Soit un cycle thermodynamique constitué de 2 isothermes et de 2 isentropiques parcouru par \( 1 \mathrm{~kg} \mathrm{~d}^{\prime} \) air assimilé à un gaz parfait. La température de la source chaude est \( T_{\mathrm{c}}=437{ }^{\circ} \mathrm{C} \) et cell la source froide \( \mathrm{T}_{\mathrm{f}}=27^{\circ} \mathrm{C} \).
\[
\mathrm{R}=287 \mathrm{~J} / \mathrm{kg} \cdot \mathrm{K} \quad \mathrm{P}_{1}=1 \text { bar } \quad \mathrm{P}_{2}=4 \text { bars } \quad \gamma=1,4
\]
1-2 : Compression isotherme \( \mathrm{T}_{1}=\mathrm{T}_{2}=\mathrm{T}_{\mathrm{f}} \)
2-3 Compression isentropique
3-4: Détente isotherme \( \mathrm{T}_{3}=\mathrm{T}_{4}=\mathrm{Tc} \) 4-1: Détente isentropique
Représenter le cycle suivant (T.S) et calculer :
La chaleur et le travail pour chaque transformation
Les variations d'énergie interne et d'entropie pour chaque transformation
La chaleur fournie au cycle par la source chaude et celle cédée par le cycle à la source froic
Le travail du cycle et le rendement
Answer
6. Calculer la chaleur fournie et cédée, le travail du cycle, et le rendement : \( Q_{3 \rightarrow 4} = nRT_3\ln\left(\frac{V_4}{V_3}\right) = 287 \cdot 710.15 \ln \left(\frac{0.25961}{0.064817}\right) = 133684 \mathrm{J} \), \( W_{4 \rightarrow 1} = nRT_4\ln\left(\frac{V_1}{V_4}\right) = 287 \cdot 710.15 \ln \left(\frac{0.86293}{0.25961}\right) = 116328 \mathrm{J} \), \( \eta = \frac{W_{\mathrm{cycle}}}{Q_{\mathrm{fournie}}} = \frac{W_{1 \rightarrow 2} + W_{4 \rightarrow 1}}{Q_{3 \rightarrow 4}} = \frac{-48295 + 116328}{133684} = 0.50934 \)
Step 1 ：1. Calculer les températures en Kelvin : \( T_1 = T_2 = T_{\mathrm{f}} + 273.15 = 300.15 \mathrm{K} \), \( T_3 = T_4 = T_{\mathrm{c}} + 273.15 = 710.15 \mathrm{K} \)
Step 2 ：2. Utiliser les relations du gaz parfait pour déterminer les volumes : \( V_1 = \frac{R T_1}{P_1} = \frac{287 \cdot 300.15}{100000} = 0.86293 \mathrm{m^3} \), \( V_2 = \frac{R T_1}{P_2} = \frac{287 \cdot 300.15}{400000} = 0.21573 \mathrm{m^3}\)
Step 3 ：3. Calculer les volumes en utilisant les relations isentropiques : \( V_3 = V_2 \cdot \left( \frac{T_2}{T_3} \right)^{\frac{1}{\gamma - 1}} = 0.21573 \cdot \left( \frac{300.15}{710.15} \right)^{\frac{1}{0.4}} = 0.064817 \mathrm{m^3} \), \( V_4 = V_1 \cdot \left( \frac{T_1}{T_4} \right)^{\frac{1}{\gamma - 1}} = 0.86293 \cdot \left( \frac{300.15}{710.15} \right)^{\frac{1}{0.4}} = 0.25961 \mathrm{m^3}\)
Step 4 ：4. Calculer les chaleurs et les travaux pour chaque transformation : \( Q_{1 \rightarrow 2} = nC_v(T_2 - T_1) = 0 \), \( W_{1 \rightarrow 2} = nRT_1\ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right) = -287 \cdot 300.15 \ln \left(\frac{0.21573}{0.86293}\right) = -48295 \mathrm{J} \), \( U_{1 \rightarrow 2} = Q_{1 \rightarrow 2} - W_{1 \rightarrow 2} = 48295 \mathrm{J} \)
Step 5 ：5. Calculer les variations d'énergie interne et d'entropie : \( \Delta U_{2 \rightarrow 3} = nC_v(T_3 - T_2) = 0 \), \( \Delta S_{2 \rightarrow 3} = 0 \)
Step 6 ：6. Calculer la chaleur fournie et cédée, le travail du cycle, et le rendement : \( Q_{3 \rightarrow 4} = nRT_3\ln\left(\frac{V_4}{V_3}\right) = 287 \cdot 710.15 \ln \left(\frac{0.25961}{0.064817}\right) = 133684 \mathrm{J} \), \( W_{4 \rightarrow 1} = nRT_4\ln\left(\frac{V_1}{V_4}\right) = 287 \cdot 710.15 \ln \left(\frac{0.86293}{0.25961}\right) = 116328 \mathrm{J} \), \( \eta = \frac{W_{\mathrm{cycle}}}{Q_{\mathrm{fournie}}} = \frac{W_{1 \rightarrow 2} + W_{4 \rightarrow 1}}{Q_{3 \rightarrow 4}} = \frac{-48295 + 116328}{133684} = 0.50934 \)
