Um fabricante de achocolatado pretende comercializar seu produto em embalagens longa vida no formato de um prisma triangular reto com capacidade para 1 litro $\left(=1000 \mathrm{~cm}^{3}\right)$, conforme figura. As faces triangulares são equiláteras, e seu material custa 2 centavos por $\mathrm{cm}^{2}$. 0 material das faces retangulares custa 3 centavos por $\mathrm{cm}^{2}$.
(a) A expressăo do custo da embalagem, em centavos, em função da medida em centímetros de a na imagem acima, é
(b) O valor de a que determina a embalagem de menor custo é
Lembrete: O volume do prisma triangular reto e o produto da área de uma das faces triangulares pela aresta $b$ das faces retangulares. A area de um triânqulo equilatero de lado $l$ e $\frac{r^{2} \sqrt{3}}{4}$

Step 1 ：Primeiro, precisamos encontrar a altura do prisma, que chamaremos de 'b'. Como o volume do prisma é 1000 cm cúbicos, podemos configurar a equação \(\frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} * b = 1000\) e resolver para 'b'.

Step 2 ：Em seguida, podemos encontrar a área de cada face do prisma. A área de cada face triangular é \(\frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}\), e a área de cada face retangular é 'a' vezes 'b'.

Step 3 ：Finalmente, podemos encontrar o custo total da embalagem multiplicando a área de cada face pelo custo por cm quadrado, e somando esses custos juntos.

Step 4 ：O custo total da embalagem como função de 'a' é \(\sqrt{3} \left(\frac{a^{3} + 12000}{a}\right)\).

Step 5 ：O valor de 'a' que minimiza o custo é \(10 \cdot 6^{1/3}\), mas como 'a' não pode ser negativo ou complexo neste contexto, descartamos as outras duas soluções.

Step 6 ：A expressão para o custo da embalagem em centavos como função de 'a' é \(\boxed{\sqrt{3} \left(\frac{a^{3} + 12000}{a}\right)}\).

Step 7 ：O valor de 'a' que minimiza o custo é \(\boxed{10 \cdot 6^{1/3}}\).