Determine a primitiva $F(x)$ da função
\[
f(x)=\frac{x^{2}}{x+9}
\]
que satisfaz $F(0)=0$
Escolha uma opção:
a. $81 \ln |1+x / 9|+\frac{x^{2}}{2}-10 x$
b. $81 \ln |1+x / 9|-10 x$
c. $\ln |1+x / 9|+\frac{x^{2}}{2}-10 x$
d. $\ln |1+x / 9|+\frac{x^{2}}{2}-9 x$
e. $81 \ln |1+x / 9|+\frac{x^{2}}{2}-9 x$

Step 1 ：Primeiro, vamos dividir o polinômio no numerador pelo denominador para simplificar a expressão. Isso nos dá \(f(x) = x - 9 + \frac{81}{x+9}\).

Step 2 ：Agora, vamos encontrar a primitiva de \(f(x)\). A primitiva de \(x\) é \(\frac{x^2}{2}\), a primitiva de \(-9\) é \(-9x\), e a primitiva de \(\frac{81}{x+9}\) é \(81 \ln |x+9|\). Portanto, a primitiva de \(f(x)\) é \(F(x) = \frac{x^2}{2} - 9x + 81 \ln |x+9| + C\), onde \(C\) é a constante de integração.

Step 3 ：Para encontrar o valor de \(C\), usamos a condição \(F(0) = 0\). Substituindo \(x = 0\) na expressão para \(F(x)\), obtemos \(0 = 0 - 0 + 81 \ln |9| + C\), o que implica que \(C = -81 \ln 9\).

Step 4 ：Portanto, a primitiva de \(f(x)\) que satisfaz \(F(0) = 0\) é \(F(x) = \frac{x^2}{2} - 9x + 81 \ln |x+9| - 81 \ln 9\).

Step 5 ：Comparando isso com as opções fornecidas, vemos que a resposta correta é \(\boxed{81 \ln |1+x / 9|+\frac{x^{2}}{2}-9 x}\).