d) $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1-2 x-x^{2}}-1}{x}$
Resposta Final: O limite da função dada à medida que x se aproxima de 0 é \(\boxed{-1}\).
Step 1 :O limite é da forma \(\frac{0}{0}\) quando x se aproxima de 0. Esta é uma forma indeterminada, então podemos aplicar a regra de L'Hopital. A regra de L'Hopital afirma que o limite de um quociente de duas funções à medida que x se aproxima de um certo valor é igual ao limite dos quocientes de suas derivadas, desde que o limite exista.
Step 2 :Então, precisamos encontrar a derivada do numerador e do denominador.
Step 3 :numerador = \(\sqrt{-x^{2} - 2x + 1} - 1\)
Step 4 :denominador = x
Step 5 :derivada do numerador = \(\frac{-x - 1}{\sqrt{-x^{2} - 2x + 1}}\)
Step 6 :derivada do denominador = 1
Step 7 :Agora que temos as derivadas do numerador e do denominador, podemos aplicar a regra de L'Hopital e encontrar o limite do quociente das derivadas à medida que x se aproxima de 0.
Step 8 :numerador = \(\sqrt{-x^{2} - 2x + 1} - 1\)
Step 9 :denominador = x
Step 10 :derivada do numerador = \(\frac{-x - 1}{\sqrt{-x^{2} - 2x + 1}}\)
Step 11 :derivada do denominador = 1
Step 12 :limite = -1
Step 13 :Agora sei a resposta final.
Step 14 :Resposta Final: O limite da função dada à medida que x se aproxima de 0 é \(\boxed{-1}\).