$\lim _{x \rightarrow-1} \frac{x^{3}+1}{x^{2}-1}$

Step 1 ：Podemos realizar a divisão longa. Também podemos escrever

Step 2 ：\[\frac{x^{3} + 1}{x^{2} - 1} = \frac{(x^{3} - 1) + 2}{x^{2} - 1}\]

Step 3 ：\[= \frac{x^{3} - 1}{x^{2} - 1} + \frac{2}{x^{2} - 1}\]

Step 4 ：\[= x + \frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x^{2} - 1}\]

Step 5 ：Assim, o quociente é \[\boxed{x + \frac{1}{x - 1}}\].

Step 6 ：Para calcular o limite quando x se aproxima de -1, substituímos x por -1 na expressão acima.

Step 7 ：\[\lim _{x \rightarrow-1} (x + \frac{1}{x - 1}) = -1 + \frac{1}{-1 - 1} = -1 - \frac{1}{2} = -\frac{3}{2}\]

Step 8 ：Portanto, o limite quando x se aproxima de -1 é \[\boxed{-\frac{3}{2}}\].