Problem

Consider the complex number z=w1w2 where w1=2+6i and w2=3+3i.
(a) Express w1 and w2 in modulus-argument form and write down
(i) the modulus of z;
(ii) the argument of z.
(b) Find the smallest positive integer value of n such that zn is a real number.

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최종 답: (a) z의 크기는 약 0.816496580927726이고 z의 인수는 약 0.5235987755982988입니다. (b) zn이 실수인 가장 작은 양의 정수 값 n은 6입니다. 따라서 최종 답은 0.816496580927726, 0.5235987755982988, 그리고 6입니다.

Steps

Step 1 :먼저, 복소수 w1w2를 크기-인수 형태로 변환해야 합니다. 복소수 a+bi의 크기는 a2+b2로 주어지고 인수는 arctan(ba)로 주어집니다. w1w2의 크기와 인수를 찾은 후, 복소수의 나눗셈의 크기와 인수의 속성을 사용하여 z의 크기와 인수를 찾을 수 있습니다. z의 크기는 w1의 크기와 w2의 크기의 비율이고 z의 인수는 w1의 인수와 w2의 인수의 차이입니다.

Step 2 :w1=(2+6i), w2=(3+3i), z의 크기는 약 0.816496580927726이고 z의 인수는 약 0.5235987755982988입니다.

Step 3 :이제 z의 크기와 인수를 알았으므로 문제의 (a) 부분에 답할 수 있습니다. (b) 부분에서는 zn이 실수인 가장 작은 양의 정수 값 n을 찾아야 합니다. 이는 zn의 인수가 π의 배수여야 함을 의미합니다. zn의 인수는 z의 인수의 n배이므로 z의 인수로 π를 나누고 가장 가까운 정수로 반올림하여 n을 찾을 수 있습니다.

Step 4 :n은 6입니다.

Step 5 :최종 답을 알았습니다.

Step 6 :최종 답: (a) z의 크기는 약 0.816496580927726이고 z의 인수는 약 0.5235987755982988입니다. (b) zn이 실수인 가장 작은 양의 정수 값 n은 6입니다. 따라서 최종 답은 0.816496580927726, 0.5235987755982988, 그리고 6입니다.

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