Consider the complex number $z=\frac{w_{1}}{w_{2}}$ where $w_{1}=\sqrt{2}+\sqrt{6} \mathrm{i}$ and $w_{2}=3+\sqrt{3} \mathrm{i}$.
(a) Express $w_{1}$ and $w_{2}$ in modulus-argument form and write down
(i) the modulus of $z$;
(ii) the argument of $z$.
(b) Find the smallest positive integer value of $n$ such that $z^{n}$ is a real number.

Step 1 ：먼저, 복소수 $w_{1}$과 $w_{2}$를 크기-인수 형태로 변환해야 합니다. 복소수 $a+bi$의 크기는 $\sqrt{a^2+b^2}$로 주어지고 인수는 $\arctan(\frac{b}{a})$로 주어집니다. $w_{1}$과 $w_{2}$의 크기와 인수를 찾은 후, 복소수의 나눗셈의 크기와 인수의 속성을 사용하여 $z$의 크기와 인수를 찾을 수 있습니다. $z$의 크기는 $w_{1}$의 크기와 $w_{2}$의 크기의 비율이고 $z$의 인수는 $w_{1}$의 인수와 $w_{2}$의 인수의 차이입니다.

Step 2 ：$w_{1} = (\sqrt{2}+\sqrt{6}i)$, $w_{2} = (3+\sqrt{3}i)$, $z$의 크기는 약 0.816496580927726이고 $z$의 인수는 약 0.5235987755982988입니다.

Step 3 ：이제 $z$의 크기와 인수를 알았으므로 문제의 (a) 부분에 답할 수 있습니다. (b) 부분에서는 $z^{n}$이 실수인 가장 작은 양의 정수 값 $n$을 찾아야 합니다. 이는 $z^{n}$의 인수가 $\pi$의 배수여야 함을 의미합니다. $z^{n}$의 인수는 $z$의 인수의 $n$배이므로 $z$의 인수로 $\pi$를 나누고 가장 가까운 정수로 반올림하여 $n$을 찾을 수 있습니다.

Step 4 ：$n$은 6입니다.

Step 5 ：최종 답을 알았습니다.

Step 6 ：최종 답: (a) $z$의 크기는 약 0.816496580927726이고 $z$의 인수는 약 0.5235987755982988입니다. (b) $z^{n}$이 실수인 가장 작은 양의 정수 값 $n$은 6입니다. 따라서 최종 답은 \(\boxed{0.816496580927726}\), \(\boxed{0.5235987755982988}\), 그리고 \(\boxed{6}\)입니다.