1. Найти неопределенные интегралы.
a) $\int \frac{\mathrm{arctg}x}{1+x^2}dx$
б) $\int \frac{xdx}{(x^2+3)(x-1)}$; в) $\int \frac{3x+5}{\sqrt{x^2+4x+5}}dx$;
г) $\int x\cdot \ln xdx$

Step 1 ：1.а) Пусть $u=\mathrm{arctg}x$, тогда $\frac{du}{dx}=\frac{1}{1+x^2}$.

Step 2 ：$\int \frac{\mathrm{arctg}x}{1+x^2}dx=\int u\frac{du}{dx}dx=\int udu$

Step 3 ：$=\frac{1}{2}{u}^2+C=\frac{1}{2}{\mathrm{arctg}}^{2}x+C$

Step 4 ：1. б) Выполним разложение на простые дроби: $\frac{x}{(x^2+3)(x-1)}=\frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^2+3}$.

Step 5 ：Раскрываем скобки: $x=A(x^2+3)+(Bx+C)(x-1)$.

Step 6 ：Сравнивая коэффициенты: $A=-\frac{1}{8}$, $B=0$, $C=\frac{1}{8}$.

Step 7 ：$\int \frac{xdx}{(x^2+3)(x-1)}=-\frac{1}{8}\int \frac{dx}{x-1}+\frac{1}{8}\int \frac{dx}{x^2+3}$

Step 8 ：$=-\frac{1}{8}\ln |x^2+3|-\frac{1}{8}\ln |x-1|+C$

Step 9 ：1. в) Пусть $u=x^2+4x+5$, тогда $\frac{du}{dx}=2x+4$.

Step 10 ：$\int \frac{3x+5}{\sqrt{x^2+4x+5}}dx=\int \frac{3}{2}\cdot \frac{2x+4+1}{\sqrt{x^2+4x+5}}dx=\frac{3}{2}\int \frac{du+1}{\sqrt{u}}dx$

Step 11 ：$=3\int \sqrt{u}du-\frac{1}{2}\int u^{-\frac{1}{2}}du=3\ln |\sqrt{x^2+4x+5}-x-2|+C$

Step 12 ：1. г) Пусть $u=x$, тогда $du=dx$, и $v=\ln x$, тогда $dv=\frac{dx}{x}$.

Step 13 ：$\int x\cdot \ln xdx$ используя интегрирование по частям: $\int udv=uv-\int vdu$.

Step 14 ：$=x\ln x-\int \ln xdx=x\ln x-x+C=\frac{1}{2}{x}^2(\ln x-1)+C$