1. Найти неопределенные интегралы.
a) \( \int \frac{\operatorname{arctg} x}{1+x^{2}} d x \)
б) \( \int \frac{x d x}{\left(x^{2}+3\right)(x-1)} \); в) \( \int \frac{3 x+5}{\sqrt{x^{2}+4 x+5}} d x \);
г) \( \int x \cdot \ln x d x \)

Step 1 ：1.а) Пусть \( u = \operatorname{arctg} x \), тогда \( \frac{du}{dx} = \frac{1}{1+x^{2}} \).

Step 2 ：\( \int \frac{\operatorname{arctg} x}{1+x^{2}} d x = \int u \frac{du}{dx} dx = \int u du \)

Step 3 ：\( = \frac{1}{2} u^2 + C = \frac{1}{2} \operatorname{arctg}^{2} x + C \)

Step 4 ：1. б) Выполним разложение на простые дроби: \( \frac{x}{(x^2+3)(x-1)} = \frac{A}{x-1} + \frac{Bx+C}{x^2+3} \).

Step 5 ：Раскрываем скобки: \( x = A(x^2+3) + (Bx+C)(x-1) \).

Step 6 ：Сравнивая коэффициенты: \(A=-\frac{1}{8}\), \(B=0\), \(C=\frac{1}{8}\).

Step 7 ：\( \int \frac{x d x}{\left(x^{2}+3\right)(x-1)} = -\frac{1}{8} \int \frac{dx}{x-1} + \frac{1}{8} \int \frac{dx}{x^2+3} \)

Step 8 ：\( = -\frac{1}{8} \ln |x^2+3|-\frac{1}{8} \ln |x-1| + C \)

Step 9 ：1. в) Пусть \( u = x^2+4x+5 \), тогда \( \frac{du}{dx} = 2x+4 \).

Step 10 ：\( \int \frac{3 x+5}{\sqrt{x^{2}+4 x+5}} d x = \int \frac{3}{2} \cdot \frac{2x+4+1}{\sqrt{x^{2}+4 x+5}} dx = \frac{3}{2} \int \frac{du+1}{\sqrt{u}} dx \)

Step 11 ：\( = 3 \int \sqrt{u} du - \frac{1}{2} \int u^{-\frac{1}{2}} du = 3 \ln |\sqrt{x^2+4x+5} - x - 2| + C \)

Step 12 ：1. г) Пусть \( u = x \), тогда \( du = dx \), и \( v = \ln x \), тогда \( dv = \frac{dx}{x} \).

Step 13 ：\( \int x \cdot \ln x d x \) используя интегрирование по частям: \( \int udv = uv - \int vdu \).

Step 14 ：\( = x \ln x - \int \ln x dx = x \ln x - x + C = \frac{1}{2} x^2 (\ln x - 1) + C \)