Test the series for convergence or divergence.
\[
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{5^{k} k !}{(k+2) !}
\]

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최종 답변: 수열 \(\sum_{k=1}^{\infty} \frac{5^{k} k !}{(k+2) !}\)는 발산합니다.

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Step 1 ：이것은 수열 문제입니다. 수렴 또는 발산을 테스트하기 위해 비율 테스트를 사용할 수 있습니다. 비율 테스트는 n이 무한대에 접근할 때 수열의 (n+1)번째 항과 n번째 항의 비의 절대값의 한계가 1보다 작으면 수열이 수렴한다고 명시합니다. 한계가 1보다 크면 수열은 발산합니다. 한계가 1이면 테스트는 결론이 나지 않습니다.

Step 2 ：k = k

Step 3 ：항 = \(\frac{5^{k} k !}{(k+2) !}\)

Step 4 ：비율 = \(\frac{5^{(k + 1)}(k + 1) !(k + 2) !}{5^{k} k !(k + 3) !}\)

Step 5 ：한계 = 5

Step 6 ：수열의 (n+1)번째 항과 n번째 항의 비의 한계는 5로, 이는 1보다 큽니다. 따라서 비율 테스트에 따르면, 수열은 발산합니다.

Step 7 ：최종 답변: 수열 \(\sum_{k=1}^{\infty} \frac{5^{k} k !}{(k+2) !}\)는 발산합니다.

Test the series for convergence or divergence.\[\sum_{k=1}^{\infty} \frac{5^{k} k !}{(k+2) !}\]

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Test the series for convergence or divergence.
\[
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{5^{k} k !}{(k+2) !}
\]