Consider the function $f(x)=\frac{e^x}{5+e^x}$.
(a) $f^{\prime }(x)=$
(b) $f$ is increasing for $x\in$
(c) $f$ is decreasing for $x\in$
(d) The local minima of $f$ occur at $x=$
(e) The local maxima of $f$ occur at $x=$
(1) $f^{\prime \prime }(x)=$
(9) $f$ is concave up for $x\in$
(h) $f$ is concave down for $x\in$
(1) The inflection points of $f$ ocour at $x=$
Note: Inpur U, infinity, and -infinity for union, $\mathrm{\infty }$, and $-\mathrm{\infty }$, respectively, If there are multiple answers, separate them by commas. If there is no answer. Input none.

Step 1 ：Considere a função $f(x)=\frac{e^x}{5+e^x}$.

Step 2 ：(a) A derivada de $f(x)$ é $f^{\prime }(x)=\frac{e^x}{e^x+5}-\frac{e^{2x}}{(e^x+5{)}^2}$.

Step 3 ：(b) $f$ está aumentando para $x\in (-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })$.

Step 4 ：(c) $f$ está diminuindo para $x\in$ nenhum.

Step 5 ：(d) Os mínimos locais de $f$ ocorrem em $x=$ nenhum.

Step 6 ：(e) Os máximos locais de $f$ ocorrem em $x=$ nenhum.

Step 7 ：(1) A segunda derivada de $f(x)$ é $f^{\prime \prime }(x)=\frac{e^x}{e^x+5}-\frac{3e^{2x}}{(e^x+5{)}^2}+\frac{2e^{3x}}{(e^x+5{)}^3}$.

Step 8 ：(9) $f$ é côncavo para cima para $x\in (-\mathrm{\infty },\ln (5))$.

Step 9 ：(h) $f$ é côncavo para baixo para $x\in (\ln (5),\mathrm{\infty })$.

Step 10 ：(1) Os pontos de inflexão de $f$ ocorrem em $x=\ln (5)$.

Step 11 ：$\boxed{{\displaystyle \text{Resposta Final: }}}$ (a) $f^{\prime }(x)=\frac{e^x}{e^x+5}-\frac{e^{2x}}{(e^x+5{)}^2}$, (b) $f$ está aumentando para $x\in (-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })$, (c) $f$ está diminuindo para $x\in$ nenhum, (d) Os mínimos locais de $f$ ocorrem em $x=$ nenhum, (e) Os máximos locais de $f$ ocorrem em $x=$ nenhum, (1) $f^{\prime \prime }(x)=\frac{e^x}{e^x+5}-\frac{3e^{2x}}{(e^x+5{)}^2}+\frac{2e^{3x}}{(e^x+5{)}^3}$, (9) $f$ é côncavo para cima para $x\in (-\mathrm{\infty },\ln (5))$, (h) $f$ é côncavo para baixo para $x\in (\ln (5),\mathrm{\infty })$, (1) Os pontos de inflexão de $f$ ocorrem em $x=\ln (5)$.