4. Maximize $K=2x-9y$ given the following constraints:
$$\begin{array}{l}y\ge -x+6\\ y\le x+4\\ y\le 7\\ x\le 5\end{array}$$
The maximum is:

Step 1 ：Find the intersection points of the given constraints:

Step 2 ：$\{\begin{array}{l}y=-x+6\\ y=x+4\\ y=7\\ x=5\end{array}$

Step 3 ：Intersection points: $\{(1,5),(-1,7),(5,1),(3,7),(5,9),(5,7)\}$

Step 4 ：Evaluate the function K at each intersection point:

Step 5 ：$K(1,5)=2(1)-9(5)=-43$

Step 6 ：$K(-1,7)=2(-1)-9(7)=-65$

Step 7 ：$K(5,1)=2(5)-9(1)=1$

Step 8 ：$K(3,7)=2(3)-9(7)=-57$

Step 9 ：$K(5,9)=2(5)-9(9)=-71$

Step 10 ：$K(5,7)=2(5)-9(7)=-53$

Step 11 ：Find the maximum value of K:

Step 12 ：$\boxed{{\displaystyle 1}}$