Analyse II
Exercice I
Déterminer les primitives suivantes :
1) $\int \frac{1}{5+x^{2}} d x$
3) $\int \frac{\ln x}{x} d x$.
2) $\int \frac{1}{\sqrt{x^{2}-5}} d x$.
4) $\int \cos ^{3}(x) d x$
Exercice II
Calculer les intégrales :
1) $\int_{0}^{1} \frac{\arctan (x)}{1+x^{2}} d x$.
3) $\int_{0}^{1} \frac{3 x+1}{(x+1)^{2}} d x$.
2) $\int_{1}^{2} x^{2} \ln (x) d x$
4) $\int_{0}^{1} \frac{1}{\left(1+x^{2}\right)^{2}} d x$
Exercice III
1) Déterminer les réels $a, b, c$ tels que pour tout $u$ différent de $\frac{1}{2}$ :
\[
\frac{u^{2}-1}{2 u-1}=a u+b+\frac{c}{2 u-1}
\]
2) Calculer $\int_{-1}^{0} \frac{x^{2}-1}{2 x-1} d x$
3) Calculer $\int_{\frac{-\pi}{6}}^{0} \frac{\cos ^{3} x}{1-2 \sin x} d x$.
Exercice IV
Calculer les intégrales suivantes :
1) $\int_{2}^{3} \frac{1}{x(x-1)} d x$
2) $\int_{2}^{3} \frac{2 x+1}{x^{2}-1} d x$
3) $\int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{x+1}{\left(x^{2}+1\right)(x-2)} d x$.