Analyse II
Exercice I
Déterminer les primitives suivantes :
1) $\int \frac{1}{5 + x^{2}} d x$
3) $\int \frac{\ln x}{x} d x$ .
2) $\int \frac{1}{\sqrt{x^{2} - 5}} d x$ .
4) $\int \cos^{3} (x) d x$
Exercice II
Calculer les intégrales :
1) $\int_{0}^{1} \frac{\arctan (x)}{1 + x^{2}} d x$ .
3) $\int_{0}^{1} \frac{3 x + 1}{(x + 1)^{2}} d x$ .
2) $\int_{1}^{2} x^{2} \ln (x) d x$
4) $\int_{0}^{1} \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{2}} d x$
Exercice III
1) Déterminer les réels $a, b, c$ tels que pour tout $u$ différent de $\frac{1}{2}$ :
$\frac{u^{2} - 1}{2 u - 1} = a u + b + \frac{c}{2 u - 1}$
2) Calculer $\int_{- 1}^{0} \frac{x^{2} - 1}{2 x - 1} d x$
3) Calculer $\int_{\frac{- π}{6}}^{0} \frac{\cos^{3} x}{1 - 2 \sin x} d x$ .
Exercice IV
Calculer les intégrales suivantes :
1) $\int_{2}^{3} \frac{1}{x (x - 1)} d x$
2) $\int_{2}^{3} \frac{2 x + 1}{x^{2} - 1} d x$
3) $\int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{x + 1}{(x^{2} + 1) (x - 2)} d x$ .

Answer

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Answer

$\int \frac{1}{5 + x^{2}} d x = \frac{1}{\sqrt{5}} \arctan (\frac{x}{\sqrt{5}}) + C$

Steps

Step 1 ： $\int \frac{1}{5 + x^{2}} d x = \int \frac{1}{5 (1 + (\frac{x}{\sqrt{5}})^{2})} d x$

Step 2 ：Substitute $u = \frac{x}{\sqrt{5}}$ , then $d u = \frac{1}{\sqrt{5}} d x$

Step 3 ： $\int \frac{1}{5 + x^{2}} d x = \int \frac{1}{5 (1 + u^{2})} \sqrt{5} d u$

Step 4 ： $\int \frac{1}{5 + x^{2}} d x = \frac{1}{\sqrt{5}} \int \frac{1}{1 + u^{2}} d u$

Step 5 ： $\int \frac{1}{5 + x^{2}} d x = \frac{1}{\sqrt{5}} \arctan (u) + C$

Step 6 ：Substitute back $u = \frac{x}{\sqrt{5}}$

Step 7 ： $\int \frac{1}{5 + x^{2}} d x = \frac{1}{\sqrt{5}} \arctan (\frac{x}{\sqrt{5}}) + C$

Step 8 ： $\int \frac{1}{5 + x^{2}} d x = \frac{1}{\sqrt{5}} \arctan (\frac{x}{\sqrt{5}}) + C$