Calculate $0.\dot{2}\times 0.\dot{5}\dot{4}$
Give your answer as a fraction in its simplest form.

Step 1 ：$x=0.\bar{2}$

Step 2 ：$10x=2.\bar{2}$

Step 3 ：$9x=2$

Step 4 ：$x=\frac{2}{9}$

Step 5 ：$y=0.\overline{54}$

Step 6 ：$100y=54.\overline{54}$

Step 7 ：$99y=54$

Step 8 ：$y=\frac{54}{99}$

Step 9 ：$y=\frac{6}{11}$

Step 10 ：$\frac{2}{9}\times \frac{6}{11}=\frac{2\times 6}{9\times 11}$

Step 11 ：$\boxed{{\displaystyle \frac{12}{99}}}$

Step 12 ：$\boxed{{\displaystyle \frac{4}{33}}}$