République Islamique de Mauritanie
Ministère d'Etat à l'Education Nationale, à
l'Enseignement Supérieur et à la
Recherche Scientifique
Direction des Examens et de l'Evaluation
Service des Examens
Session Normale
Exercice 1 (4 points)
Pour tout nombre complexe \( z \) on pose : \( P(z)=z^{3}-(1+2 \cos \theta) z^{2}+(1+2 \cos \theta) z-1 \) où \( \theta \in[0 ; 2 \pi[ \).
1) Calculer \( P(1) \) puis déterminer les solutions \( z_{0}, z_{1} \) et \( z_{2} \) de l'équation \( P(z)=0 \) sachant que \( z_{0} \) est réel, et \( \operatorname{Im} \mathrm{z}_{1} \geq 0 \) si \( \sin \theta \geq 0 \).
2) Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé \( (\mathbf{O} ; \overrightarrow{\mathbf{u}}, \overrightarrow{\mathbf{v}}) \) on considère les points \( \mathbf{M}_{0}, \mathbf{M}_{\mathbf{1}} \) et \( \mathbf{M}_{2} \) d'affixes respectives \( z_{0}, z_{1} \) et \( \mathbf{z}_{2} \). Déterminer, lorsque \( \theta \) décrit l'intervalle \( [0 ; 2 \pi[ \), le lieu géométrique \( \Gamma_{1} \) des points \( M_{1} \) et \( M_{2} \).
3) Soit le point \( G \) barycentre du système \( S=\left\{\left(M_{0}, 1\right) ;\left(M_{1}, 1\right) ;\left(M_{2},-3\right)\right\} \)
a) Démontrer que si \( \theta \) décrit l'intervalle \( [0 ; 2 \pi[ \), alors le lieu géométrique \( \Gamma \) du point \( \mathrm{G} \) est une ellipse dont on donnera une équation cartésienne.
b) Déterminer, dans le repère \( (\mathbf{O} ; \overrightarrow{\mathrm{u}}, \overrightarrow{\mathbf{v}}) \), les coordonnées du centre et des sommets, puis calculer l'excentricité de l'ellipse \( \Gamma \) : Construire \( \Gamma \) dans ce repère.
4) On suppose dans cette question que \( \theta=\frac{\pi}{2} \).
a) Déterminer les coordonnées des points \( \mathbf{M}_{\theta}, \mathbf{M}_{1}, \mathbf{M}_{2} \) et \( \mathbf{G} \). Placer ces points sur la figure précédente. Quelle est la particularité de \( \mathbf{G} \) dans ce cas?
b) Déterminer puis construire l'ensemble \( \Gamma^{\prime} \) des points \( \mathbf{M} \) du plan tels que :
\[
M M_{1}{ }^{2}+M M_{1}{ }^{2}-3 M_{2}{ }^{2}=6
\]
Exercice 2 (4 points)
Soit \( f \) la fonction numérique définie par: \( \left\{\begin{array}{l}f(x)=x(1-\ln x) ; \quad x> 0 \\ f(0)=0\end{array}\right. \)
Soit \( (\mathbf{C}) \) la courbe représentative de \( f \) dans un repère orthonormal \( (0 ; \vec{u}, \overrightarrow{\mathbf{v}}) \).
1.a) Etudier la continuité et la dérivabilité de \( \mathbf{f} \) à droite de \( x_{0}=0 \), interpréter graphiquement.
b) Dresser le tableau de variations de \( \mathbf{f} \).
c) Calculer \( \lim _{\mathbf{x} \rightarrow+\infty} \frac{f(x)}{\mathbf{x}} \). Construire la courbe \( (\mathbf{C}) \).
2) Pour tout entier \( \mathbf{n} \geq 1 \), on pose :
\[
\left\{\begin{array}{l}
f_{n}(x)=x^{n}(1-\ln x) ; \quad x> 0 \\
f_{n}(0)=0
\end{array}\right.
\]
\( (1,5) \)
\( \{0,5) \)
\( (0,5) \)
\( (0,5) \)
\( (0,5) \)
\( (0,5) \)
\( (0,75) \)
\( (0,75) \)
\( (0,25) \)
Soit \( \left(\mathbf{C}_{n}\right) \) la courbe représentative de la fonction \( \mathbf{f}_{n} \) dans le repère orthonormal \( (\mathbf{O} ; \overrightarrow{\mathbf{u}}, \overrightarrow{\mathbf{v}}) \).
a) Pour \( \mathbf{n} \geq 2 \), étudier la dérivabilité de \( \mathbf{f}_{n} \) à droite de \( \mathbf{x}_{\mathbf{v}}=0 \). Interpréter graphiquement.
b) Dresser le tableau de variation de \( \mathbf{f}_{\mathrm{n}} \).
3.a) Montrer que toutes les courbes \( \left(\mathbf{C}_{\mathrm{n}}\right) \) passent par trois points communs que l'on déterminera.
b) Etudier la position relative de \( \left(\mathbf{C}_{\mathrm{n}}\right) \) et \( \left(\mathbf{C}_{\mathrm{n}+1}\right) \).
4) Pour tout entier naturel \( n \geq 1 \) on pose : \( U_{n}=\int_{1}^{1} f_{n}(x) d x \).
a) Donner une interprétation géométrique de l'intégrale \( \mathrm{U}_{\mathrm{n}} \).
b) Justifier sans calcul, que la suite \( \left(\mathbf{U}_{n}\right) \) est positive et décroissante.
c) Donner l'expression de \( \mathbf{U}_{n} \) en fonction de \( \mathbf{n} \) et calculer \( \lim _{n \rightarrow+\infty} \mathbf{U}_{\mathbf{n}} \).
\( (0,25) \)
\( (0,5) \)
\( (0,5) \)
\( (0,25) \)
\( \mid \begin{array}{l}(0,25) \\ (0,25) \\ (0,25) \\ (0,25)\end{array} \)
Baccalauréat 2011
Session Normale
Epreuve de Mathématiques
Séries C \& TMGM
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