République Islamique de Mauritanie
Ministère d'Etat à l'Education Nationale, à
l'Enseignement Supérieur et à la
Recherche Scientifique
Direction des Examens et de l'Evaluation
Service des Examens
Session Normale
Exercice 1 (4 points)
Pour tout nombre complexe $z$ on pose : $P(z)=z^3-(1+2\cos \theta )z^2+(1+2\cos \theta )z-1$ où $\theta \in [0;2\pi [$.
1) Calculer $P(1)$ puis déterminer les solutions $z_0,z_1$ et $z_2$ de l'équation $P(z)=0$ sachant que $z_0$ est réel, et $\mathrm{Im}{\mathrm{z}}_1\ge 0$ si $\sin \theta \ge 0$.
2) Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé $(\mathbf{O};\overrightarrow{\mathbf{u}},\overrightarrow{\mathbf{v}})$ on considère les points ${\mathbf{M}}_0,{\mathbf{M}}_{\mathbf{1}}$ et ${\mathbf{M}}_2$ d'affixes respectives $z_0,z_1$ et ${\mathbf{z}}_2$. Déterminer, lorsque $\theta$ décrit l'intervalle $[0;2\pi [$, le lieu géométrique ${\mathrm{\Gamma }}_1$ des points $M_1$ et $M_2$.
3) Soit le point $G$ barycentre du système $S=\{(M_0,1);(M_1,1);(M_2,-3)\}$
a) Démontrer que si $\theta$ décrit l'intervalle $[0;2\pi [$, alors le lieu géométrique $\mathrm{\Gamma }$ du point $\mathrm{G}$ est une ellipse dont on donnera une équation cartésienne.
b) Déterminer, dans le repère $(\mathbf{O};\overrightarrow{\mathrm{u}},\overrightarrow{\mathbf{v}})$, les coordonnées du centre et des sommets, puis calculer l'excentricité de l'ellipse $\mathrm{\Gamma }$ : Construire $\mathrm{\Gamma }$ dans ce repère.
4) On suppose dans cette question que $\theta =\frac{\pi }{2}$.
a) Déterminer les coordonnées des points ${\mathbf{M}}_{\theta },{\mathbf{M}}_1,{\mathbf{M}}_2$ et $\mathbf{G}$. Placer ces points sur la figure précédente. Quelle est la particularité de $\mathbf{G}$ dans ce cas?
b) Déterminer puis construire l'ensemble ${\mathrm{\Gamma }}^{\prime }$ des points $\mathbf{M}$ du plan tels que :
$$M{M}_1{}^2+M{M}_1{}^2-3M_2{}^2=6$$
Exercice 2 (4 points)
Soit $f$ la fonction numérique définie par: $\{\begin{array}{l}f(x)=x(1-\ln x);x>0\\ f(0)=0\end{array}$
Soit $(\mathbf{C})$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormal $(0;\overrightarrow{u},\overrightarrow{\mathbf{v}})$.
1.a) Etudier la continuité et la dérivabilité de $\mathbf{f}$ à droite de $x_0=0$, interpréter graphiquement.
b) Dresser le tableau de variations de $\mathbf{f}$.
c) Calculer $\underset{\mathbf{x}\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{f(x)}{\mathbf{x}}$. Construire la courbe $(\mathbf{C})$.
2) Pour tout entier $\mathbf{n}\ge 1$, on pose :
$$\{\begin{array}{l}{f}_n(x)=x^n(1-\ln x);x>0\\ f_n(0)=0\end{array}$$
$(1,5)$
$\{0,5)$
$(0,5)$
$(0,5)$
$(0,5)$
$(0,5)$
$(0,75)$
$(0,75)$
$(0,25)$
Soit $\left({\mathbf{C}}_n\right)$ la courbe représentative de la fonction ${\mathbf{f}}_n$ dans le repère orthonormal $(\mathbf{O};\overrightarrow{\mathbf{u}},\overrightarrow{\mathbf{v}})$.
a) Pour $\mathbf{n}\ge 2$, étudier la dérivabilité de ${\mathbf{f}}_n$ à droite de ${\mathbf{x}}_{\mathbf{v}}=0$. Interpréter graphiquement.
b) Dresser le tableau de variation de ${\mathbf{f}}_{\mathrm{n}}$.
3.a) Montrer que toutes les courbes $\left({\mathbf{C}}_{\mathrm{n}}\right)$ passent par trois points communs que l'on déterminera.
b) Etudier la position relative de $\left({\mathbf{C}}_{\mathrm{n}}\right)$ et $\left({\mathbf{C}}_{\mathrm{n}+1}\right)$.
4) Pour tout entier naturel $n\ge 1$ on pose : $U_n={\int }_1^1{f}_n(x)dx$.
a) Donner une interprétation géométrique de l'intégrale ${\mathrm{U}}_{\mathrm{n}}$.
b) Justifier sans calcul, que la suite $\left({\mathbf{U}}_n\right)$ est positive et décroissante.
c) Donner l'expression de ${\mathbf{U}}_n$ en fonction de $\mathbf{n}$ et calculer $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{\mathbf{U}}_{\mathbf{n}}$.
$(0,25)$
$(0,5)$
$(0,5)$
$(0,25)$
$\mid \begin{array}{l}(0,25)\\ (0,25)\\ (0,25)\\ (0,25)\end{array}$
Baccalauréat 2011
Session Normale
Epreuve de Mathématiques
Séries C \& TMGM
$1/3$