A35 Voor elke \( p> 0 \) is de functie \( f_{p} \) gegeven door \( f_{p}(x)=p \sin \left(\frac{1}{3} x\right) \cos \left(\frac{1}{3} x\right) \) met domein \( \left[0,1 \frac{1}{2} \pi\right] \).
Het vlakdeel \( V_{p} \) wordt ingesloten door de grafiek van \( f_{p} \) en de \( x \)-as. Bereken exact voor welke \( p \) de oppervlakte van \( V_{p} \) gelijk is aan 10.

Step 1 ：\(V_{p} = \int_{0}^{\frac{3}{2}\pi} p \sin \left(\frac{1}{3} x\right) \cos \left(\frac{1}{3} x\right) dx\)

Step 2 ：\(V_{p} = p \int_{0}^{\frac{3}{2}\pi} \sin \left(\frac{1}{3} x\right) \cos \left(\frac{1}{3} x\right) dx\)

Step 3 ：\(V_{p} = p \cdot \frac{3}{2} \left[\frac{1}{2} \sin^{2}\left(\frac{1}{3} x\right)\right]_{0}^{\frac{3}{2}\pi}\)

Step 4 ：\(V_{p} = p \cdot \frac{3}{4} \left[\sin^{2}\left(\frac{1}{3}\left(\frac{3}{2}\pi\right)\right) - \sin^{2}\left(\frac{1}{3}(0)\right)\right]\)

Step 5 ：\(V_{p} = p \cdot \frac{3}{4} \left[\sin^{2}\left(\frac{1}{2}\pi\right) - \sin^{2}(0)\right]\)

Step 6 ：\(V_{p} = p \cdot \frac{3}{4} \left[1 - 0\right]\)

Step 7 ：\(V_{p} = \frac{3}{4}p\)

Step 8 ：\(\frac{3}{4}p = 10\)

Step 9 ：\(p = \frac{40}{3}\)