1. Soit $(u_{n})$ la suite définie par: ${\begin{cases} u_{0} = - 3, \\ u_{n + 1} = \frac{2 u_{n} + 5}{u_{n} + 6}, n \in N . \end{cases}$
(a) Montrer que pour tout $n \in N, \frac{1}{u_{n + 1} - 1} = \frac{7}{u_{n} - 1} + 1$
(b) En déduire la limite de $(u_{n})$ .
(c) Déterminer le plus petit entier $n_{0}$ , tel que pour tout $n \geq n_{0}, u_{n} > 0, 99$ .

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Since $u_{4} > 0.99$ , smallest $n_{0} = 4$ \Rightarrow (c)

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Step 1 ： $u_{n + 1} = \frac{2 u_{n} + 5}{u_{n} + 6}$

Step 2 ： $\frac{1}{u_{n + 1} - 1} = \frac{2 u_{n} + 5}{u_{n} + 6} - 1$

Step 3 ： $\frac{1}{u_{n + 1} - 1} = \frac{2 u_{n} + 5 - u_{n} - 6}{u_{n} + 6}$

Step 4 ： $\frac{1}{u_{n + 1} - 1} = \frac{u_{n} - 1}{u_{n} + 6}$

Step 5 ： $\frac{1}{u_{n + 1} - 1} + 1 = \frac{u_{n} - 1}{u_{n} + 6} + \frac{u_{n} + 6}{u_{n} + 6}$

Step 6 ： $\frac{1}{u_{n + 1} - 1} + 1 = \frac{7 (u_{n} - 1) + u_{n} + 6}{u_{n} + 6}$

Step 7 ： $\frac{1}{u_{n + 1} - 1} + 1 = \frac{7 (u_{n} - 1) + u_{n} + 6}{u_{n} + 6}$ \Rightarrow (a)

Step 8 ： $u_{n} \to 1$ as $n \to \infty$ \Rightarrow (b)

Step 9 ：Iterating from $u_{0}$ : $u_{0} = - 3$ , $u_{1} = 1 / 3$ , $u_{2} = 3 / 7$ , $u_{3} = 47 / 53$ , $u_{4} = 329 / 335$

Step 10 ：Since $u_{4} > 0.99$ , smallest $n_{0} = 4$ \Rightarrow (c)