13. $f(x)=\frac{a x^{2}+b x+c}{x^{2}-4 x+3}$ 에 대하여 $\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=2$, $\lim _{x \rightarrow 1} f(x)=3$ 을 만족시킬 때, $f(4)$ 의 값은?
(1) -2
(2) -1
(3) 0
(4) 1
(5) 2

Step 1 ：함수 $f(x)=\frac{a x^{2}+b x+c}{x^{2}-4 x+3}$ 가 주어졌습니다. 이 함수의 극한값이 주어진 조건을 만족시키려면, 분자의 최고차항의 계수가 분모의 최고차항의 계수의 2배가 되어야 합니다. 즉, $a=2$가 되어야 합니다.

Step 2 ：다음으로, $\lim _{x \rightarrow 1} f(x)=3$ 을 만족시키려면, $x=1$을 대입했을 때 함수의 값이 3이 되어야 합니다. 이를 만족시키기 위해 $b$와 $c$의 값을 찾아봅시다.

Step 3 ：$f(1)=\frac{a+b+c}{1-4+3}=3$ 이므로, $a+b+c=6$ 입니다. $a=2$ 이므로, $b+c=4$ 입니다.

Step 4 ：이제 $f(4)$ 의 값을 찾아봅시다. $f(4)=\frac{2 \cdot 4^{2}+b \cdot 4+c}{4^{2}-4 \cdot 4+3}$ 입니다.

Step 5 ：분모는 $4^{2}-4 \cdot 4+3=16-16+3=3$ 이므로, $f(4)=\frac{2 \cdot 4^{2}+b \cdot 4+c}{3}$ 입니다.

Step 6 ：분자는 $2 \cdot 4^{2}+b \cdot 4+c=32+4b+c$ 입니다. $b+c=4$ 이므로, 분자는 $32+4=36$ 입니다.

Step 7 ：따라서, $f(4)=\frac{36}{3}=\boxed{12}$ 입니다.