Exercice 1 : (4 points )
Soit $(u_{n})$ la suite numérique définie par : $u_{0} = \frac{3}{2}$ et $u_{n + 1} = \frac{2 u_{n}}{2 u_{n} + 5}$ pour tout $n$ de $I N$
1) Calculer $u_{1}$
2) Montrer par récurrence que pour tout $n$ de $I N, u_{n} > 0$
3)a) Montrer que pour tout $n$ de $I N, 0 < u_{n + 1} \leq \frac{2}{5} u_{n}$ puis en déduire que pour tout $n$ de $I N, 0 < u_{n} \leq \frac{3}{2} {(\frac{2}{5})}^{n}$
b) Calculer $lim u_{n}$
4) On considère la suite numérique $(v_{n})$ définie par $v_{n} = \frac{4 u_{n}}{2 u_{n} + 3}$ pour tout $n$ de $I N$ .
a) Montrer que $(v_{n})$ est une suite géométrique de raison $\frac{2}{5}$
b) Déterminer $v_{n}$ en fonction de $n$ et en déduire $u_{n}$ en fonction de $n$ pour tout $n$ de $I N$ .

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${\begin{cases} 3a. Inequality: 0 < u_{n + 1} \leq \frac{2}{5} u_{n} \\ 3b. Limit lim u_{n} = 0 \\ 4a. Geometric: v_{n} = \frac{4 u_{n}}{2 u_{n} + 3} \\ 4b. Function: u_{n} = \frac{3}{2} {(\frac{2}{5})}^{n} and v_{n} = 2 {(\frac{2}{5})}^{n} \end{cases}$

Steps

Step 1 ： $u_{1} = \frac{2 u_{0}}{2 u_{0} + 5}$

Step 2 ： ${\begin{cases} Initial step : u_{0} > 0 \\ Inductive step : u_{n + 1} > 0 ⟹ \frac{2 u_{n}}{2 u_{n} + 5} > 0 \end{cases}$

Step 3 ： ${\begin{cases} 3a. Inequality: 0 < u_{n + 1} \leq \frac{2}{5} u_{n} \\ 3b. Limit lim u_{n} = 0 \\ 4a. Geometric: v_{n} = \frac{4 u_{n}}{2 u_{n} + 3} \\ 4b. Function: u_{n} = \frac{3}{2} {(\frac{2}{5})}^{n} and v_{n} = 2 {(\frac{2}{5})}^{n} \end{cases}$

Answer

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