Exercice 1 : (4 points )
Soit \( \left(u_{n}\right) \) la suite numérique définie par : \( u_{0}=\frac{3}{2} \) et \( u_{n+1}=\frac{2 u_{n}}{2 u_{n}+5} \) pour tout \( n \) de \( I N \)
1) Calculer \( u_{1} \)
2) Montrer par récurrence que pour tout \( n \) de \( I N, u_{n}> 0 \)
3)a) Montrer que pour tout \( n \) de \( I N, 0< u_{n+1} \leq \frac{2}{5} u_{n} \) puis en déduire que pour tout \( n \) de \( I N, 0< u_{n} \leq \frac{3}{2}\left(\frac{2}{5}\right)^{n} \)
b) Calculer \( \lim u_{n} \)
4) On considère la suite numérique \( \left(v_{n}\right) \) définie par \( v_{n}=\frac{4 u_{n}}{2 u_{n}+3} \) pour tout \( n \) de \( I N \).
a) Montrer que \( \left(v_{n}\right) \) est une suite géométrique de raison \( \frac{2}{5} \)
b) Déterminer \( v_{n} \) en fonction de \( n \) et en déduire \( u_{n} \) en fonction de \( n \) pour tout \( n \) de \( I N \).
Answer
\[\begin{cases} \textbf{3a. Inequality:} \ 0 < u_{n+1} \leq \frac{2}{5} u_{n} \\ \textbf{3b. Limit}\lim u_{n}=0 \\ \textbf{4a. Geometric:}\ v_n = \frac{4u_n}{2u_n + 3} \\ \textbf{4b. Function:}\ u_n = \frac{3}{2}\left(\frac{2}{5}\right)^n \ \text{ and }\ v_n = 2\left(\frac{2}{5}\right)^n \end{cases} \]
Step 1 ：\( u_{1}=\frac{2 u_{0}}{2 u_{0}+5} \)
Step 2 ：\[\begin{cases} \textbf{Initial step :} \ u_0 > 0 \\ \textbf{Inductive step :} \ u_{n+1}>0 \ \implies \ \frac{2 u_{n}}{2 u_{n}+5}>0 \end{cases} \]
Step 3 ：\[\begin{cases} \textbf{3a. Inequality:} \ 0 < u_{n+1} \leq \frac{2}{5} u_{n} \\ \textbf{3b. Limit}\lim u_{n}=0 \\ \textbf{4a. Geometric:}\ v_n = \frac{4u_n}{2u_n + 3} \\ \textbf{4b. Function:}\ u_n = \frac{3}{2}\left(\frac{2}{5}\right)^n \ \text{ and }\ v_n = 2\left(\frac{2}{5}\right)^n \end{cases} \]
