a) Soit la fonction $f(z)=\frac{1+z}{1-z}$.calculer $\frac{df}{dz}$ et déterminer ensuite en quels points $f(z)$ n'est pas analytique.
b) Soit $f(x,y)=x^2+y^2+ixy$ $f$ vérifie-t-elle les conditions de Cauchy-Riemann? Exprimer $f(x,y)$ en fonction de Z et $\overline{Z}$

Step 1 ：$\frac{df}{dz}=\frac{(1+z)(-1)-(1-z)(1)}{(1-z{)}^2}$

Step 2 ：$\frac{df}{dz}=\frac{-1-z-1+z}{(1-z{)}^2}$

Step 3 ：$\frac{df}{dz}=\frac{-2}{(1-z{)}^2}$

Step 4 ：$f(z)$ n'est pas analytique si $(1-z{)}^2=0$, donc $z=1$

Step 5 ：$u(x,y)=x^2+y^2$ et $v(x,y)=xy$

Step 6 ：Calculons les dérivées: $\frac{\partial u}{\partial x}=2x$, $\frac{\partial u}{\partial y}=2y$, $\frac{\partial v}{\partial x}=y$, $\frac{\partial v}{\partial y}=x$

Step 7 ：Les conditions de Cauchy-Riemann sont: $\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}$ et $\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$

Step 8 ：Vérification: $2x=x$ et $2y=-y$

Step 9 ：Les conditions de Cauchy-Riemann ne sont pas vérifiées.

Step 10 ：Exprimons $f(x,y)$ en fonction de $Z$ et $\overline{Z}$:

Step 11 ：$Z=x+iy$ et $\overline{Z}=x-iy$

Step 12 ：$f(x,y)=x^2+y^2+ixy=\frac{1}{2}(Z\overline{Z}+iZ\overline{Z})$