a) Soit la fonction \( f(z)=\frac{1+z}{1-z} \).calculer \( \frac{d f}{d z} \) et déterminer ensuite en quels points \( f(z) \) n'est pas analytique.
b) Soit \( f(x, y)=x^{2}+y^{2}+i x y \) \( f \) vérifie-t-elle les conditions de Cauchy-Riemann? Exprimer \( f(x, y) \) en fonction de Z et \( \bar{Z} \)

Step 1 ：\(\frac{d f}{d z} = \frac{(1 + z)(-1) - (1 - z)(1)}{(1 - z)^{2}}\)

Step 2 ：\(\frac{d f}{d z} = \frac{-1 - z - 1 + z}{(1 - z)^{2}}\)

Step 3 ：\(\frac{d f}{d z} = \frac{-2}{(1 - z)^{2}}\)

Step 4 ：\(f(z)\) n'est pas analytique si \((1 - z)^{2} = 0\), donc \(z = 1\)

Step 5 ：\(u(x, y) = x^{2} + y^{2}\) et \(v(x, y) = x y\)

Step 6 ：Calculons les dérivées: \(\frac{\partial u}{\partial x} = 2x\), \(\frac{\partial u}{\partial y} = 2y\), \(\frac{\partial v}{\partial x} = y\), \(\frac{\partial v}{\partial y} = x\)

Step 7 ：Les conditions de Cauchy-Riemann sont: \(\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}\) et \(\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}\)

Step 8 ：Vérification: \(2x = x\) et \(2y = -y\)

Step 9 ：Les conditions de Cauchy-Riemann ne sont pas vérifiées.

Step 10 ：Exprimons \(f(x, y)\) en fonction de \(Z\) et \(\bar{Z}\):

Step 11 ：\(Z = x + iy\) et \(\bar{Z} = x - iy\)

Step 12 ：\(f(x, y) = x^{2} + y^{2} + i x y = \frac{1}{2} (Z \bar{Z} + i Z \bar{Z})\)