2. 함수 $f(x)=\cot x$ 일 때, $f^{\prime \prime}\left(\frac{\pi}{4}\right)$ 의 값은? [4.5점]

Step 1 ：함수 \(f(x)=\cot x\)의 두 번째 도함수를 찾기 위해 먼저 \(f(x)\)의 첫 번째 도함수를 찾아야 합니다.

Step 2 ：\(f'(x)\)를 찾기 위해 \(\cot x\)의 도함수인 \(-\csc^2 x\)를 사용합니다.

Step 3 ：따라서 \(f'(x) = -\csc^2 x\).

Step 4 ：이제 \(f'(x)\)의 도함수, 즉 \(f''(x)\)를 찾아야 합니다.

Step 5 ：\(f''(x)\)를 찾기 위해 \(-\csc^2 x\)의 도함수인 \(2\csc x \cot x\)를 사용합니다.

Step 6 ：따라서 \(f''(x) = 2\csc x \cot x\).

Step 7 ：이제 \(x = \frac{\pi}{4}\)일 때 \(f''(x)\)의 값을 찾을 수 있습니다.

Step 8 ：\(\csc x = \frac{1}{\sin x}\)이고 \(\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}\)이므로, \(x = \frac{\pi}{4}\)일 때 이들의 값은 각각 \(\sqrt{2}\)와 1입니다.

Step 9 ：따라서 \(f''\left(\frac{\pi}{4}\right) = 2\csc\left(\frac{\pi}{4}\right) \cot\left(\frac{\pi}{4}\right) = 2\cdot\sqrt{2}\cdot1 = 2\sqrt{2}\).

Step 10 ：따라서 \(f''\left(\frac{\pi}{4}\right)\)의 값은 \(\boxed{2\sqrt{2}}\).