$\left\{\begin{array}{l}e^{-x} d x-\frac{3 y^{2} d y}{x}=0 \\ y(0)=1\end{array}\right.$

Step 1 ：Primeiro, reescrevemos a equação dada para obter uma forma mais fácil de trabalhar. A equação dada é \(e^{-x} dx - \frac{3y^2 dy}{x} = 0\).

Step 2 ：Podemos reescrever isso como \(e^{-x} dx = \frac{3y^2 dy}{x}\).

Step 3 ：Em seguida, multiplicamos ambos os lados por \(x\) para obter \(xe^{-x} dx = 3y^2 dy\).

Step 4 ：Integrando ambos os lados, obtemos \(-xe^{-x} + e^{-x} = y^3 + C\), onde \(C\) é a constante de integração.

Step 5 ：Usando a condição inicial \(y(0) = 1\), podemos substituir \(x = 0\) e \(y = 1\) na equação para obter \(-0 + 1 = 1 + C\).

Step 6 ：Isso nos dá \(C = 0\). Portanto, a solução para a equação diferencial é \(-xe^{-x} + e^{-x} = y^3\).

Step 7 ：Para encontrar \(\frac{1}{y^3}\), podemos reescrever a equação como \(\frac{1}{y^3} = -xe^{-x} + e^{-x}\).

Step 8 ：Portanto, a resposta final é \(\boxed{-xe^{-x} + e^{-x}}\).