Enveruita de Newalkethere
Licnce d"Ecointimie Gertion
Searimn Neichale, Esf mai 2 in
Prgerecwrfigenet
Rane is
Frcercige 1 (3,5 points) On considére l'ensemble $E_{\alpha }=\{X(x,y,z)\in R^3,x-y+z=a\},0$ $a$ est un pàmmétre réel.
2. Déterminer une base de $E_0$. Quclle est sa dimension ?
Bscncine 2 (3,5 paints) On considerre la matrice $A=\left(\begin{array}{lll}1& 1& 1\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$ et $l_3=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& -1& 0\\ 0& 0& -1\end{array}\right)$
1. Détuminer la matzice $B=A-I_3$.
2. Calculer $B^2$ et $B^3$. En déduire $B^n$, pour wout $n\ge 3$.
3. Calculer $\exp (B)=I_3+B+\frac{1}{1.2}{B}^2+\frac{1}{1.2.3}{B}^3+\cdots +\frac{1}{1.2.3\dots n}{B}^n+\cdots +$
Erarcice 5 (13 points)
1. Sait $U\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ -1\end{array}\right),V\left(\begin{array}{l}0\\ 1\\ 1\end{array}\right),W\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ 0\end{array}\right)$, Moncrer que B (U,V, W) est uae base de ${\mathbb{R}}^3$.
2. Soit $A=\left(\begin{array}{ccc}-1& 1& -1\\ 2& 0& 1\\ 2& 2& -1\end{array}\right)$ ct f I'application linéaire de ${\mathbb{R}}^3$ dans ${\mathbb{R}}^3$ dont la matrice dans La base canonique de ${\mathbb{R}}^3$ est $A$. Calculer $f(U),f(V)$ et $f(W)$.
3. En deciuire D, la matrice def relativement a la base $B$.
4. Diterminer $f(X)$ pour tout $X\left(\begin{array}{l}x\\ y\\ z\end{array}\right)\in {\mathbb{R}}^3$, en fonction de $x,y\in tz$.
5. Détruminer $K$ cr $(1$. fest-elle injective ? bijective ?
6. Détermincr les valeurs propres de A. A est-elle diagonalisable ?
7. Détermincr les sous-espaces propres associés aux valeurs propres de $A$.
8. Déterminer $P$, la matrice de passage de la base canonique vers la base $B$.
9. Calculer $P^{-1}$. Quc représenté $P^{-1}$ pour $B$ et la base canonique ?
10. Exprimer $D$ en fonction de $P,\mathrm{\Lambda }$ ct $P^{-1}$ er exprimer $A$ en fonction de $P^P,D$ ec $P^{-1}$.
11. Calcules $A^n$, pour tout $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.