\#1. (40pts) Find the general solution of the following equation: \[ y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+4 y=g(t), t>0 \] (1) $g(t)=0$ (check the Wronskian.) (2) $g(t)=e^{-2 t}$ (Use method of undetermined coefficients.) (3) $g(t)=\frac{e^{-2 t}}{t^{2}}$ (Use method of variation of parameters.)

Step 1 ：\(y(t) = y_h(t) + y_p(t)\)

Step 2 ：\(y_h(t) = C_1 e^{-2t} + C_2 te^{-2t}\)

Step 3 ：\(y_p(t) = A e^{-2t} + B t e^{-2t} + C t^2 e^{-2t}\)

Step 4 ：\(y_p'(t) = -2A e^{-2t} + (B - 2At) e^{-2t} - 2Bt e^{-2t} + 2Ct e^{-2t}\)

Step 5 ：\(y_p''(t) = 4A e^{-2t} - 2B e^{-2t} + 4At e^{-2t} + 4Bt e^{-2t} - 4Ct e^{-2t}\)

Step 6 ：\(y''(t) + 4y'(t) + 4y(t) = g(t)\)

Step 7 ：\(g(t) = 0\)

Step 8 ：\(y(t) = C_1 e^{-2t} + C_2 te^{-2t}\)

Step 9 ：\(g(t) = e^{-2t}\)

Step 10 ：\(y_p(t) = A e^{-2t}\)

Step 11 ：\(y(t) = C_1 e^{-2t} + C_2 te^{-2t} + A e^{-2t}\)

Step 12 ：\(g(t) = \frac{e^{-2t}}{t^2}\)

Step 13 ：\(y_p(t) = A e^{-2t} + B t e^{-2t} + C t^2 e^{-2t}\)

Step 14 ：\(y(t) = C_1 e^{-2t} + C_2 te^{-2t} + A e^{-2t} + B t e^{-2t} + C t^2 e^{-2t}\)

Step 15 ：\(\boxed{y(t) = C_1 e^{-2t} + C_2 te^{-2t} + A e^{-2t} + B t e^{-2t} + C t^2 e^{-2t}}\)