Soit le problème de Cauchy : \( \left\{\begin{array}{l}y^{\prime}=y-\frac{2 t}{y} \\ y(0)=1\end{array}\right. \) En utilisant un pas constant \( h=0.2 \), calculer la solution au point \( t=1 \) en utilisant : 1. la méthode à un seul pas d'Euler (ordre 1) 2. la méthode à un seul pas de Taylor (ordre 2) 3. la méthode à un seul pas de Runge kutta (ordre 2) 4. la méthode à un seul pas de Runge kutta (ordre 4) Comparer les résultats numériques avec ceux de la solution analytique donné par \[ y=\sqrt{2 t+1} \]

Step 1 ：1. Euler: \(y_{n+1} = y_n + h(y_n - \frac{2 t_n}{y_n})\)

Step 2 ：2. Taylor: \(y_{n+1} = y_n + h(y_n - \frac{2 t_n}{y_n}) + \frac{h^2}{2}(2 - \frac{2}{y_n^2})\)

Step 3 ：3. Runge Kutta ordre 2: \(k_1 = y_n - \frac{2 t_n}{y_n}\), \(k_2 = (y_n + hk_1) - \frac{2 (t_n + h)}{y_n + hk_1}\), \(y_{n+1} = y_n + \frac{h}{2}(k_1 + k_2)\)

Step 4 ：4. Runge Kutta ordre 4: \(k_1 = y_n - \frac{2 t_n}{y_n}\), \(k_2 = (y_n + 0.5hk_1) - \frac{2 (t_n + 0.5h)}{y_n+0.5hk_1}\), \(k_3 = (y_n + 0.5hk_2) - \frac{2 (t_n + 0.5h)}{y_n + 0.5hk_2}\), \(k_4 = (y_n + hk_3) - \frac{2 (t_n + h)}{y_n + hk_3}\), \(y_{n+1} = y_n + \frac{h}{6}(k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4)\)