Problem
Exercice 1: Soient deux fonctions \( f \) et \( g \) de la variable complexe \( z \) définies par : \[ f(z)=3 z^{4}-2 z^{3}+8 z^{2}-2 z+5 \text { et } g(z)=\frac{f(z)}{z-i}, z \neq i \] a) Montrer que \( \lim _{z \rightarrow i} g(z)=4+4 i \) b) Etudier la continuité de la fonction g au point \( z_{0}=i \)
Solution
Step 1 ：\( g(z)=\frac{f(z)}{z-i} \Rightarrow g(z)(z-i)=f(z) \)
Step 2 ：\( \lim_{z\rightarrow i} g(z)(z-i) = 3(i)^{4} - 2(i)^{3} + 8(i)^{2} - 2(i) + 5 \)
Step 3 ：\( \lim_{z\rightarrow i} (4+4i) = \lim_{z\rightarrow i} g(z)(z - i) \Rightarrow \lim_{z\rightarrow i} g(z) = 4+4i \)
