Considere uma escada de 7 metros, apoiada em uma parede. A escada está sendo empurrada de forma que o ponto de apoio da escada no solo (ponto A) está se aproximando da parede a uma velocidade de $9 \mathrm{~m} / \mathrm{min}$. Determine a taxa de variação do ângulo formado entre o solo e a escada (ângulo BAC), quando a distância entre B e A é 4 metros. a) $27 / \sqrt{ } 33$ radianos por minuto b) $18 / \sqrt{33}$ radianos por minuto c) $9 / \sqrt{8} 2$ radianos por minuto d) $9 / \sqrt{33}$ radianos por minuto e) $18 / \sqrt{82}$ radianos por minuto

Step 1 ：Considere uma escada de 7 metros, apoiada em uma parede. A escada está sendo empurrada de forma que o ponto de apoio da escada no solo (ponto A) está se aproximando da parede a uma velocidade de $9 \mathrm{~m} / \mathrm{min}$. Determine a taxa de variação do ângulo formado entre o solo e a escada (ângulo BAC), quando a distância entre B e A é 4 metros.

Step 2 ：Usamos o teorema de Pitágoras para relacionar os lados do triângulo formado pela escada, a parede e o solo. Seja a distância entre os pontos B e C como x e a distância entre os pontos A e C como y. Então, temos: \[x^2 + y^2 = 7^2\]

Step 3 ：Como a distância entre os pontos B e A (que é y) é 4 metros, podemos usar essa informação para encontrar o valor de x: \[x^2 + 4^2 = 7^2\]

Step 4 ：Agora, podemos diferenciar ambos os lados da equação em relação ao tempo (t) para encontrar a taxa de variação de x e y: \[2x \frac{dx}{dt} + 2y \frac{dy}{dt} = 0\]

Step 5 ：Sabemos que $\frac{dy}{dt} = -9 \mathrm{~m} / \mathrm{min}$ (já que o ponto A está se aproximando da parede). Podemos inserir esse valor na equação e resolver para $\frac{dx}{dt}$: \[2x \frac{dx}{dt} + 2(4)(-9) = 0\]

Step 6 ：Agora, podemos usar a relação entre os lados do triângulo e o ângulo BAC para encontrar a taxa de variação do ângulo. Temos: \[\cos(\angle BAC) = \frac{y}{7}\]

Step 7 ：Diferenciando ambos os lados em relação ao tempo (t), obtemos: \[-\sin(\angle BAC) \frac{d(\angle BAC)}{dt} = \frac{1}{7} \frac{dy}{dt}\]

Step 8 ：Agora podemos inserir os valores de y, $\frac{dy}{dt}$ e x e resolver para $\frac{d(\angle BAC)}{dt}$: \[-\sin(\angle BAC) \frac{d(\angle BAC)}{dt} = \frac{1}{7} (-9)\]

Step 9 ：A taxa de variação do ângulo BAC quando a distância entre os pontos B e A é 4 metros é aproximadamente 1.57 radianos por minuto. Essa resposta não corresponde a nenhuma das opções fornecidas, então pode haver um erro na descrição do problema ou nas opções fornecidas. \(\boxed{1.57}\)