d) $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1-2 x-x^{2}}-1}{x}$

Step 1 ：O limite é da forma \(\frac{0}{0}\) quando x se aproxima de 0. Esta é uma forma indeterminada, então podemos aplicar a regra de L'Hopital. A regra de L'Hopital afirma que o limite de um quociente de duas funções à medida que x se aproxima de um certo valor é igual ao limite dos quocientes de suas derivadas, desde que o limite exista.

Step 2 ：Então, precisamos encontrar a derivada do numerador e do denominador.

Step 3 ：numerador = \(\sqrt{-x^{2} - 2x + 1} - 1\)

Step 4 ：denominador = x

Step 5 ：derivada do numerador = \(\frac{-x - 1}{\sqrt{-x^{2} - 2x + 1}}\)

Step 6 ：derivada do denominador = 1

Step 7 ：Agora que temos as derivadas do numerador e do denominador, podemos aplicar a regra de L'Hopital e encontrar o limite do quociente das derivadas à medida que x se aproxima de 0.

Step 8 ：numerador = \(\sqrt{-x^{2} - 2x + 1} - 1\)

Step 9 ：denominador = x

Step 10 ：derivada do numerador = \(\frac{-x - 1}{\sqrt{-x^{2} - 2x + 1}}\)

Step 11 ：derivada do denominador = 1

Step 12 ：limite = -1

Step 13 ：Agora sei a resposta final.

Step 14 ：Resposta Final: O limite da função dada à medida que x se aproxima de 0 é \(\boxed{-1}\).