UNIVERSITE CHOUAIB DOUKKALI Année universitaire 2014-2015 FACULTE DES SCTENCES DEPARTEMENT DE PHYSIQUE \[ \text { EL. JA }) \text { A } \] EPRE IE DE THERMODYNAMIQUE SMPC Durée \( 1 \mathrm{H30} \) Exercice - Démontrez les tiois lois de Laplace, pour un gaz parfait qui subit une transformation adiabal lique réversible. Problème On considede un gaz portici: dans la condition initiales \( \left(\mathrm{P}_{\mathrm{A}}=3 \mathrm{~atm}, \mathrm{~T}_{\mathrm{A}}=300 \mathrm{~K}, \mathrm{~V}_{\mathrm{A}}=16,4 \mathrm{~L}\right) \) auquel on fait subir les transformations reversibles suivantes: Etat A.\( > \) Etat B ; compression adiabatique jusqu' \( \mathrm{d} \mathrm{T}_{\mathrm{B}}=450 \mathrm{~K} \). Etat B ㄱ> Etat C : refroidissement isochore jusqu'd \( P_{C}-4,05 \) atm. Etat -> Etat \( \mathrm{D} \) : détente isotherme jusqu' a \( P_{\mathrm{D}}=3 \) atm. Etat \( D \cdots \) Etat \( A \) : isobar \( ( \) on donne \( \gamma=1,66) \) 1. Calculer le nomb ' moles 2. Déterminer les variables \( (P, V, T) \) dans chaque état. 3. Représenter les différentes transformations sur le diagramme de Clapoyron \( (P, V) \) et le diagramme \( (T, S) \). 4. Quelle est la nsture du cycle ? 5. Calculer le travaif a chaleur et la variation d'énergio interne, pour chacune des transformations: 6. Calculer lo travarlfotal et la quantité de chaleur totale. 7. Montrer que le prawier principo est véritió. 8. Si on veut appliquer ce cycle a un réfrigérateur, calculer son efficacité.

Step 1 ：1. n = \frac{P_A V_A}{R T_A} = \frac{3 \mathrm{~atm} * 16.4 \mathrm{~L}}{0.0821 \mathrm{~L~atm~mol}^{-1} \mathrm{K}^{-1} * 300 \mathrm{~K}} = 2.0101 \mathrm{~moles}

Step 2 ：2a.\(P_B = P_A \left(\frac{T_B}{T_A}\right)^{\frac{\gamma}{\gamma - 1}} = 3 \mathrm{~atm} * \left(\frac{450 \mathrm{~K}}{300 \mathrm{~K}}\right)^{\frac{1.66}{0.66}} = 7.9974 \mathrm{~atm}\)

Step 3 ：2b. V_B = V_A * \left(\frac{P_A}{P_B}\right)^{\frac{1}{\gamma}} = 16.4 \mathrm{~L} * \left(\frac{3 \mathrm{~atm}}{7.9974 \mathrm{~atm}}\right)^{\frac{1}{1.66}} = 5.6722 \mathrm{~L}

Step 4 ：2c. V_C = V_B = 5.6722 \mathrm{~L}

Step 5 ：2d. T_C = T_B * \frac{P_C}{P_B} = 450 \mathrm{~K} * \frac{4.05 \mathrm{~atm}}{7.9974 \mathrm{~atm}} = 255.1203 \mathrm{~K}

Step 6 ：2e. P_D = P_A = 3 \mathrm{~atm}

Step 7 ：2f. V_D = V_C * \frac{P_C}{P_D} = 5.6722 \mathrm{~L} * \frac{4.05 \mathrm{~atm}}{3 \mathrm{~atm}} = 7.6829 \mathrm{~L}

Step 8 ：2g. T_D = T_C = 255.1203 \mathrm{~K}

Step 9 ：3. diagramPV

Step 10 ：4. natureCycle

Step 11 ：5a. W_{AB} = \frac{R * T_B * (P_A - P_B)}{\gamma - 1} = \frac{0.0821 \mathrm{~L~atm~mol}^{-1} \mathrm{K}^{-1} * 450 \mathrm{~K} * (3 \mathrm{~atm} - 7.9974 \mathrm{~atm})}{0.66} = -11.5956 \mathrm{L~atm}

Step 12 ：5b. W_{BC} = 0 \mathrm{L~atm}

Step 13 ：5c. W_{CD} = n * R * T_C * \ln{\frac{V_D}{V_C}} = 2.0101 \mathrm{~moles} * 0.0821 \mathrm{~L~atm~mol}^{-1} \mathrm{K}^{-1} * 255.1203 \mathrm{~K} * \ln{\frac{7.6829 \mathrm{~L}}{5.6722 \mathrm{~L}}} = 2.2842 \mathrm{L~atm}

Step 14 ：5d. W_{DA} = 0 \mathrm{L~atm}

Step 15 ：6a. W_{total} = W_{AB} + W_{BC} + W_{CD} + W_{DA} = -11.5956 \mathrm{L~atm} + 0 \mathrm{L~atm} + 2.2842 \mathrm{L~atm} + 0 \mathrm{L~atm} = -9.3114 \mathrm{L~atm}

Step 16 ：6b. Q_{total} = -W_{total} = -(-9.3114 \mathrm{L~atm}) = 9.3114 \mathrm{L~atm}

Step 17 ：7. \Delta E_{int} = 0

Step 18 ：8. efficiency = \frac{W_{total}}{Q_{total}} = \frac{-9.3114 \mathrm{L~atm}}{9.3114 \mathrm{L~atm}} = -1.0000