Calcule a distância entre as retas: \[ \begin{array}{l} r:(x, y, z)=(0,7,-4)+t_{r}(4,0,7) \\ \text { e } \\ s:(x, y, z)=(4,0,4)+t_{s}(-7,0,0) \end{array} \]

Step 1 ：A distância entre duas linhas no espaço 3D pode ser calculada usando a fórmula: \[d = \frac{|(b2 - b1) . (d1 \times d2)|}{||d1 \times d2||}\] onde: \(b1\) e \(b2\) são os vetores posição de quaisquer pontos na primeira e segunda linha respectivamente, \(d1\) e \(d2\) são os vetores direção da primeira e segunda linha respectivamente, \(.\) denota o produto escalar, \(\times\) denota o produto vetorial, e \(||.||\) denota a magnitude de um vetor.

Step 2 ：Neste caso, temos: \(b1 = (0,7,-4)\), \(d1 = (4,0,7)\), \(b2 = (4,0,4)\), e \(d2 = (-7,0,0)\).

Step 3 ：Agora podemos substituir esses valores na fórmula para calcular a distância.

Step 4 ：\[b1 = [ 0 7 -4]\]

Step 5 ：\[d1 = [4 0 7]\]

Step 6 ：\[b2 = [4 0 4]\]

Step 7 ：\[d2 = [-7 0 0]\]

Step 8 ：\[d = 7.0\]

Step 9 ：Agora sei a resposta final.

Step 10 ：Resposta Final: A distância entre as duas linhas é \(\boxed{7}\).