Consider the function $f(x)=\frac{e^{x}}{5+e^{x}}$. (a) $f^{\prime}(x)=$ (b) $f$ is increasing for $x \in$ (c) $f$ is decreasing for $x \in$ (d) The local minima of $f$ occur at $x=$ (e) The local maxima of $f$ occur at $x=$ (1) $f^{\prime \prime}(x)=$ (9) $f$ is concave up for $x \in$ (h) $f$ is concave down for $x \in$ (1) The inflection points of $f$ ocour at $x=$ Note: Inpur U, infinity, and -infinity for union, $\infty$, and $-\infty$, respectively, If there are multiple answers, separate them by commas. If there is no answer. Input none.

Step 1 ：Considere a função $f(x)=\frac{e^{x}}{5+e^{x}}$.

Step 2 ：(a) A derivada de $f(x)$ é $f^{\prime}(x)=\frac{e^{x}}{e^{x} + 5} - \frac{e^{2x}}{(e^{x} + 5)^{2}}$.

Step 3 ：(b) $f$ está aumentando para $x \in (-\infty, \infty)$.

Step 4 ：(c) $f$ está diminuindo para $x \in$ nenhum.

Step 5 ：(d) Os mínimos locais de $f$ ocorrem em $x=$ nenhum.

Step 6 ：(e) Os máximos locais de $f$ ocorrem em $x=$ nenhum.

Step 7 ：(1) A segunda derivada de $f(x)$ é $f^{\prime \prime}(x)=\frac{e^{x}}{e^{x} + 5} - \frac{3e^{2x}}{(e^{x} + 5)^{2}} + \frac{2e^{3x}}{(e^{x} + 5)^{3}}$.

Step 8 ：(9) $f$ é côncavo para cima para $x \in (-\infty, \ln(5))$.

Step 9 ：(h) $f$ é côncavo para baixo para $x \in (\ln(5), \infty)$.

Step 10 ：(1) Os pontos de inflexão de $f$ ocorrem em $x=\ln(5)$.

Step 11 ：\(\boxed{\text{Resposta Final: }}\) (a) $f^{\prime}(x)=\frac{e^{x}}{e^{x} + 5} - \frac{e^{2x}}{(e^{x} + 5)^{2}}$, (b) $f$ está aumentando para $x \in (-\infty, \infty)$, (c) $f$ está diminuindo para $x \in$ nenhum, (d) Os mínimos locais de $f$ ocorrem em $x=$ nenhum, (e) Os máximos locais de $f$ ocorrem em $x=$ nenhum, (1) $f^{\prime \prime}(x)=\frac{e^{x}}{e^{x} + 5} - \frac{3e^{2x}}{(e^{x} + 5)^{2}} + \frac{2e^{3x}}{(e^{x} + 5)^{3}}$, (9) $f$ é côncavo para cima para $x \in (-\infty, \ln(5))$, (h) $f$ é côncavo para baixo para $x \in (\ln(5), \infty)$, (1) Os pontos de inflexão de $f$ ocorrem em $x=\ln(5)$.