Problem
Analyse II Exercice I Déterminer les primitives suivantes : 1) $\int \frac{1}{5+x^{2}} d x$ 3) $\int \frac{\ln x}{x} d x$. 2) $\int \frac{1}{\sqrt{x^{2}-5}} d x$. 4) $\int \cos ^{3}(x) d x$ Exercice II Calculer les intégrales : 1) $\int_{0}^{1} \frac{\arctan (x)}{1+x^{2}} d x$. 3) $\int_{0}^{1} \frac{3 x+1}{(x+1)^{2}} d x$. 2) $\int_{1}^{2} x^{2} \ln (x) d x$ 4) $\int_{0}^{1} \frac{1}{\left(1+x^{2}\right)^{2}} d x$ Exercice III 1) Déterminer les réels $a, b, c$ tels que pour tout $u$ différent de $\frac{1}{2}$ : \[ \frac{u^{2}-1}{2 u-1}=a u+b+\frac{c}{2 u-1} \] 2) Calculer $\int_{-1}^{0} \frac{x^{2}-1}{2 x-1} d x$ 3) Calculer $\int_{\frac{-\pi}{6}}^{0} \frac{\cos ^{3} x}{1-2 \sin x} d x$. Exercice IV Calculer les intégrales suivantes : 1) $\int_{2}^{3} \frac{1}{x(x-1)} d x$ 2) $\int_{2}^{3} \frac{2 x+1}{x^{2}-1} d x$ 3) $\int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{x+1}{\left(x^{2}+1\right)(x-2)} d x$.
Solution
Step 1 ：\(\int \frac{1}{5+x^{2}} d x = \int \frac{1}{5(1+(\frac{x}{\sqrt{5}})^{2})} d x\)
Step 2 ：Substitute \(u = \frac{x}{\sqrt{5}}\), then \(du = \frac{1}{\sqrt{5}} dx\)
Step 3 ：\(\int \frac{1}{5+x^{2}} d x = \int \frac{1}{5(1+u^{2})} \sqrt{5} du\)
Step 4 ：\(\int \frac{1}{5+x^{2}} d x = \frac{1}{\sqrt{5}} \int \frac{1}{1+u^{2}} du\)
Step 5 ：\(\int \frac{1}{5+x^{2}} d x = \frac{1}{\sqrt{5}} \arctan(u) + C\)
Step 6 ：Substitute back \(u = \frac{x}{\sqrt{5}}\)
Step 7 ：\(\int \frac{1}{5+x^{2}} d x = \frac{1}{\sqrt{5}} \arctan(\frac{x}{\sqrt{5}}) + C\)
Step 8 ：\(\boxed{\int \frac{1}{5+x^{2}} d x = \frac{1}{\sqrt{5}} \arctan(\frac{x}{\sqrt{5}}) + C}\)
