Problem
République Islamique de Mauritanie Ministère d'Etat à l'Education Nationale, à l'Enseignement Supérieur et à la Recherche Scientifique Direction des Examens et de l'Evaluation Service des Examens Session Normale Exercice 1 (4 points) Pour tout nombre complexe \( z \) on pose : \( P(z)=z^{3}-(1+2 \cos \theta) z^{2}+(1+2 \cos \theta) z-1 \) où \( \theta \in[0 ; 2 \pi[ \). 1) Calculer \( P(1) \) puis déterminer les solutions \( z_{0}, z_{1} \) et \( z_{2} \) de l'équation \( P(z)=0 \) sachant que \( z_{0} \) est réel, et \( \operatorname{Im} \mathrm{z}_{1} \geq 0 \) si \( \sin \theta \geq 0 \). 2) Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé \( (\mathbf{O} ; \overrightarrow{\mathbf{u}}, \overrightarrow{\mathbf{v}}) \) on considère les points \( \mathbf{M}_{0}, \mathbf{M}_{\mathbf{1}} \) et \( \mathbf{M}_{2} \) d'affixes respectives \( z_{0}, z_{1} \) et \( \mathbf{z}_{2} \). Déterminer, lorsque \( \theta \) décrit l'intervalle \( [0 ; 2 \pi[ \), le lieu géométrique \( \Gamma_{1} \) des points \( M_{1} \) et \( M_{2} \). 3) Soit le point \( G \) barycentre du système \( S=\left\{\left(M_{0}, 1\right) ;\left(M_{1}, 1\right) ;\left(M_{2},-3\right)\right\} \) a) Démontrer que si \( \theta \) décrit l'intervalle \( [0 ; 2 \pi[ \), alors le lieu géométrique \( \Gamma \) du point \( \mathrm{G} \) est une ellipse dont on donnera une équation cartésienne. b) Déterminer, dans le repère \( (\mathbf{O} ; \overrightarrow{\mathrm{u}}, \overrightarrow{\mathbf{v}}) \), les coordonnées du centre et des sommets, puis calculer l'excentricité de l'ellipse \( \Gamma \) : Construire \( \Gamma \) dans ce repère. 4) On suppose dans cette question que \( \theta=\frac{\pi}{2} \). a) Déterminer les coordonnées des points \( \mathbf{M}_{\theta}, \mathbf{M}_{1}, \mathbf{M}_{2} \) et \( \mathbf{G} \). Placer ces points sur la figure précédente. Quelle est la particularité de \( \mathbf{G} \) dans ce cas? b) Déterminer puis construire l'ensemble \( \Gamma^{\prime} \) des points \( \mathbf{M} \) du plan tels que : \[ M M_{1}{ }^{2}+M M_{1}{ }^{2}-3 M_{2}{ }^{2}=6 \] Exercice 2 (4 points) Soit \( f \) la fonction numérique définie par: \( \left\{\begin{array}{l}f(x)=x(1-\ln x) ; \quad x>0 \\ f(0)=0\end{array}\right. \) Soit \( (\mathbf{C}) \) la courbe représentative de \( f \) dans un repère orthonormal \( (0 ; \vec{u}, \overrightarrow{\mathbf{v}}) \). 1.a) Etudier la continuité et la dérivabilité de \( \mathbf{f} \) à droite de \( x_{0}=0 \), interpréter graphiquement. b) Dresser le tableau de variations de \( \mathbf{f} \). c) Calculer \( \lim _{\mathbf{x} \rightarrow+\infty} \frac{f(x)}{\mathbf{x}} \). Construire la courbe \( (\mathbf{C}) \). 2) Pour tout entier \( \mathbf{n} \geq 1 \), on pose : \[ \left\{\begin{array}{l} f_{n}(x)=x^{n}(1-\ln x) ; \quad x>0 \\ f_{n}(0)=0 \end{array}\right. \] \( (1,5) \) \( \{0,5) \) \( (0,5) \) \( (0,5) \) \( (0,5) \) \( (0,5) \) \( (0,75) \) \( (0,75) \) \( (0,25) \) Soit \( \left(\mathbf{C}_{n}\right) \) la courbe représentative de la fonction \( \mathbf{f}_{n} \) dans le repère orthonormal \( (\mathbf{O} ; \overrightarrow{\mathbf{u}}, \overrightarrow{\mathbf{v}}) \). a) Pour \( \mathbf{n} \geq 2 \), étudier la dérivabilité de \( \mathbf{f}_{n} \) à droite de \( \mathbf{x}_{\mathbf{v}}=0 \). Interpréter graphiquement. b) Dresser le tableau de variation de \( \mathbf{f}_{\mathrm{n}} \). 3.a) Montrer que toutes les courbes \( \left(\mathbf{C}_{\mathrm{n}}\right) \) passent par trois points communs que l'on déterminera. b) Etudier la position relative de \( \left(\mathbf{C}_{\mathrm{n}}\right) \) et \( \left(\mathbf{C}_{\mathrm{n}+1}\right) \). 4) Pour tout entier naturel \( n \geq 1 \) on pose : \( U_{n}=\int_{1}^{1} f_{n}(x) d x \). a) Donner une interprétation géométrique de l'intégrale \( \mathrm{U}_{\mathrm{n}} \). b) Justifier sans calcul, que la suite \( \left(\mathbf{U}_{n}\right) \) est positive et décroissante. c) Donner l'expression de \( \mathbf{U}_{n} \) en fonction de \( \mathbf{n} \) et calculer \( \lim _{n \rightarrow+\infty} \mathbf{U}_{\mathbf{n}} \). \( (0,25) \) \( (0,5) \) \( (0,5) \) \( (0,25) \) \( \mid \begin{array}{l}(0,25) \\ (0,25) \\ (0,25) \\ (0,25)\end{array} \) Baccalauréat 2011 Session Normale Epreuve de Mathématiques Séries C \& TMGM \( 1 / 3 \)
Solution
Step 1 ：1) Calculer \( P(1) \)
Step 2 ：P(1) = (1)^3 - (1 + 2\cos\theta)(1)^2 + (1 + 2\cos\theta)(1) - 1
Step 3 ：P(1) = 0
Step 4 ：1) Trouver les solutions \( z_0, z_1\) et \(z_2\)
Step 5 ：\(P(z) = (z-1)(z^2 - (1 + 2\cos\theta)z + 1)\)
Step 6 ：Solutions: \(z_0 = 1, z_1 = \frac{1 + 2\cos\theta + \sqrt{(-1-2\cos\theta)^2 - 4}}{2}, z_2 = \frac{1 + 2\cos\theta - \sqrt{(-1-2\cos\theta)^2 - 4}}{2}\)
