Problem
OMUNIK Ann6e: 2022/2023 TD MATH GENERAL, S2: WI GESTUON ercice 1: on considère la suite \( \left(u_{n}\right) \) définie par \( u_{n+1}=u_{n}+2 n-1 \) et \( u_{0}=3 \). 1. a) Calculer \( u_{1}, u_{2} \) et \( u_{3} \). b) Que peut-on en déduire sur la suite \( \left(u_{n}\right) \) ? 2. On pose, pour tout entier naturel \( n, v_{n}=u_{n}-n^{2} \) a) Calculer \( v_{0}, v_{1}, v_{2} \) et \( v_{3} \) b) Montrer que \( \left(v_{n}\right) \) est une suite arithmétique dont on précisera la raison. c) Exprimer, pour tout entier naturel \( n, v_{n} \) en fonction de \( n \). 3. En déduire une expression de \( u_{n} \) en fonction de \( n \), pour tout entier naturel \( n \).
Solution
Step 1 ：u_1 = u_0 + 2(0) - 1 = 3 - 1 = 2
Step 2 ：u_2 = u_1 + 2(1) -1 = 2 + 2(1) - 1 = 2 + 2 - 1 = 3
Step 3 ：u_3 = u_2 + 2(2) -1 = 3 + 2(2) - 1= 3 + 4 - 1 = 6
Step 4 ：v_0 = u_0 - 0^2 = 3 - 0 = 3
Step 5 ：v_1 = u_1 - 1^2 = 2 - 1 = 1
Step 6 ：v_2 = u_2 - 2^2 = 3 - 4 = -1
Step 7 ：v_3 = u_3 - 3^2 = 6 - 9 = -3
Step 8 ：v_{n+1} - v_n = u_{n+1} - (n+1)^2 - u_n + n^2
Step 9 ：(u_{n+1} - u_n) = -2
Step 10 ：v_{n} = v_{0} - 2n
Step 11 ：u_n = v_n + n^2
