$y=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{4}+8 x^{3}+24 x^{2}+32 x}{x}$

Step 1 ：A função dada é uma função racional e somos solicitados a encontrar o limite à medida que x se aproxima de 0. O primeiro passo para encontrar o limite de uma função racional à medida que x se aproxima de um determinado valor é substituir esse valor na função. Se o resultado for um número real, então esse é o limite. Se o resultado for uma forma indeterminada (0/0 ou ∞/∞), então precisamos simplificar a função ou usar a regra de L'Hopital. Neste caso, se substituirmos x=0 na função, obtemos uma forma indeterminada (0/0). Portanto, precisamos simplificar a função. Podemos fazer isso fatorando um x do numerador.

Step 2 ：\(x = x\)

Step 3 ：\(f = \frac{x^{4} + 8x^{3} + 24x^{2} + 32x}{x}\)

Step 4 ：\(f_{simplificado} = x^{3} + 8x^{2} + 24x + 32\)

Step 5 ：Depois de simplificar a função fatorando um x do numerador, obtemos uma nova função \(x^{3} + 8x^{2} + 24x + 32\). Agora, se substituirmos x=0 nesta nova função, obtemos um número real (32), que é o limite da função original à medida que x se aproxima de 0. Portanto, o limite da função dada à medida que x se aproxima de 0 é 32.

Step 6 ：\(\boxed{32}\)