Exercice 2: a) Etudier l'holomorphisme des fonctions suivantes sur C (utiliser les conditions de CauchyRiemann): 1) \( f(z)=e^{z} \) 2) \( f(z)=e^{\bar{z}} \) 3) \( f(z)=\frac{1}{1+z^{2}} \) 4) \( f(z)=e^{-z^{2}} \) 5) \( f(x+i y)=-x^{2} y+i y \) 6) \( f(x+i y)=\sin x+i y \cos x \) b) Déterminer la fonction holomorphe \( \mathrm{f} \) sur \( \mathrm{C} \), dont la partie réelle est \( p(x, y)=x y \)

Step 1 ：Pour la fonction 1 : \( f(z) = e^z \), écrire \(f(z)=u(x,y)+iv(x,y)\) et appliquer les conditions de Cauchy-Riemann.

Step 2 ：Pour la fonction 2 : \( f(z) = e^{\bar{z}} \), écrire \(f(z)=u(x,y)+iv(x,y)\) et appliquer les conditions de Cauchy-Riemann.

Step 3 ：Pour la fonction 3 : \( f(z) = \frac{1}{1+z^2} \), écrire \(f(z)=u(x,y)+iv(x,y)\) et appliquer les conditions de Cauchy-Riemann.

Step 4 ：Pour la fonction 4 : \( f(z) = e^{-z^2} \), écrire \(f(z)=u(x,y)+iv(x,y)\) et appliquer les conditions de Cauchy-Riemann.

Step 5 ：Pour la fonction 5 : \( f(x+iy) = -x^2 y + i y \), écrire \(f(z)=u(x,y)+iv(x,y)\) et appliquer les conditions de Cauchy-Riemann.

Step 6 ：Pour la fonction 6 : \( f(x+iy) = \sin x + i y \cos x \), écrire \(f(z)=u(x,y)+iv(x,y)\) et appliquer les conditions de Cauchy-Riemann.

Step 7 ：Pour la partie b) : déterminer la fonction holomorphe \(f\) sur \(C\), avec \(u(x,y)=xy\) en utilisant les conditions de Cauchy-Riemann et trouver \(v(x,y)\).