$\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{x}{x-3}\right)^{\frac{2 x}{3}}$

Step 1 ：Primeiro, vamos reescrever a expressão para simplificar a avaliação do limite.

Step 2 ：\(\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{x}{x-3}\right)^{\frac{2 x}{3}} = \lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{3}{x-3}\right)^{\frac{2 x}{3}}\)

Step 3 ：Agora, vamos usar a propriedade do limite que diz que o limite de uma função elevada a outra função é igual à função exponencial da função do limite do produto das funções.

Step 4 ：\(\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{3}{x-3}\right)^{\frac{2 x}{3}} = e^{\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{2 x}{3}\cdot \frac{3}{x-3}\right)}\)

Step 5 ：Vamos simplificar a expressão dentro do limite.

Step 6 ：\(e^{\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{2 x}{3}\cdot \frac{3}{x-3}\right)} = e^{\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{2}{3}\cdot \frac{3}{1-\frac{3}{x}}\right)}\)

Step 7 ：Agora, vamos avaliar o limite.

Step 8 ：\(e^{\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{2}{3}\cdot \frac{3}{1-\frac{3}{x}}\right)} = e^{\frac{2}{3}\cdot \frac{3}{1-0}}\)

Step 9 ：Finalmente, simplificamos a expressão para obter a resposta final.

Step 10 ：\(e^{\frac{2}{3}\cdot \frac{3}{1-0}} = e^{2}\)

Step 11 ：Portanto, \(\boxed{e^{2}}\) é a resposta final.