f) $\lim _{x \rightarrow 7} \frac{\sqrt{x+2}-3}{x-7}$

Step 1 ：A função é \(f = \frac{\sqrt{x + 2} - 3}{x - 7}\).

Step 2 ：O limite é da forma \(\frac{0}{0}\) quando x se aproxima de 7. Esta é uma forma indeterminada, então não podemos substituir diretamente x=7 na função para encontrar o limite.

Step 3 ：No entanto, podemos usar a regra de L'Hopital, que afirma que o limite de um quociente de duas funções à medida que x se aproxima de um certo valor é igual ao limite dos quocientes de suas derivadas, desde que o limite original seja da forma \(\frac{0}{0}\) ou \(\frac{\infty}{\infty}\).

Step 4 ：A derivada do numerador é \(\frac{1}{2\sqrt{x + 2}}\) e a derivada do denominador é 1.

Step 5 ：Portanto, o limite é \(\frac{1}{6}\).

Step 6 ：Resposta Final: O limite da função à medida que x se aproxima de 7 é \(\boxed{\frac{1}{6}}\).