Calcule $\int \frac{3 x-1}{(2 x+1)^{2}} d x$ Escolha uma opção: a. $\frac{\frac{3 z^{2}}{2}-x}{\frac{(2 z+1)^{3}}{3}}+C$ b. $\frac{3(2 x+1)^{2}-4(3 x-1)(2 x+1)}{(2 x+1)^{4}}+C$ c. $\frac{5}{4} \ln |2 x+1|+\frac{3}{4(2 x+1)}+C$ d. $\frac{\frac{x^{2}}{2}-x}{\frac{(2 x+1)^{3}}{6}}+C$ e. $\frac{3}{4} \ln |2 x+1|+\frac{5}{4(2 x+1)}+C$

Step 1 ：A integral é uma função racional, e parece estar na forma de uma derivada de um logaritmo. A derivada de \(\ln|ax+b|\) é \(\frac{a}{ax+b}\). Aqui, \(a=2\) e \(b=1\). Portanto, a derivada de \(\ln|2x+1|\) é \(\frac{2}{2x+1}\). Mas temos um \(x\) extra no numerador. Portanto, podemos dividir a fração em duas partes: \(\frac{3x}{(2x+1)^2}\) e \(\frac{-1}{(2x+1)^2}\). A primeira parte pode ser reescrita como \(\frac{3/2}{2x+1}\) e a segunda parte já está na forma de uma derivada de um logaritmo. Portanto, a integral deve ser uma combinação linear de \(\ln|2x+1|\) e \(\frac{1}{2x+1}\).

Step 2 ：Calculamos a integral da função, que é \(\frac{3}{4} \ln |2x+1| + \frac{5}{4(2x+1)}\). Isso corresponde à opção (e) nas opções de múltipla escolha.

Step 3 ：A resposta final é a integral de \(\frac{3x - 1}{(2x + 1)^2}\), que é \(\boxed{\frac{3}{4} \ln |2x+1| + \frac{5}{4(2x+1)} + C}\).