Enveruita de Newalkethere Licnce d"Ecointimie Gertion Searimn Neichale, Esf mai 2 in Prgerecwrfigenet Rane is Frcercige 1 (3,5 points) On considére l'ensemble $E_{\alpha}=\left\{X(x, y, z) \in R^{3}, x-y+z=a\right\}, 0$ $a$ est un pàmmétre réel. 2. Déterminer une base de $E_{0}$. Quclle est sa dimension ? Bscncine 2 (3,5 paints) On considerre la matrice $A=\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ et $l_{3}=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1\end{array}\right)$ 1. Détuminer la matzice $B=A-I_{3}$. 2. Calculer $B^{2}$ et $B^{3}$. En déduire $B^{n}$, pour wout $n \geq 3$. 3. Calculer $\exp (B)=I_{3}+B+\frac{1}{1.2} B^{2}+\frac{1}{1.2 .3} B^{3}+\cdots+\frac{1}{1.2 .3 \ldots n} B^{n}+\cdots+$ Erarcice 5 (13 points) 1. Sait $U\left(\begin{array}{c}1 \\ -1 \\ -1\end{array}\right), V\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 1\end{array}\right), W\left(\begin{array}{c}1 \\ -1 \\ 0\end{array}\right)$, Moncrer que B (U,V, W) est uae base de $\mathbb{R}^{3}$. 2. Soit $A=\left(\begin{array}{ccc}-1 & 1 & -1 \\ 2 & 0 & 1 \\ 2 & 2 & -1\end{array}\right)$ ct f I'application linéaire de $\mathbb{R}^{3}$ dans $\mathbb{R}^{3}$ dont la matrice dans La base canonique de $\mathbb{R}^{3}$ est $A$. Calculer $f(U), f(V)$ et $f(W)$. 3. En deciuire D, la matrice def relativement a la base $B$. 4. Diterminer $f(X)$ pour tout $X\left(\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right) \in \mathbb{R}^{3}$, en fonction de $x, y \in t z$. 5. Détruminer $K$ cr $(1$. fest-elle injective ? bijective ? 6. Détermincr les valeurs propres de A. A est-elle diagonalisable ? 7. Détermincr les sous-espaces propres associés aux valeurs propres de $A$. 8. Déterminer $P$, la matrice de passage de la base canonique vers la base $B$. 9. Calculer $P^{-1}$. Quc représenté $P^{-1}$ pour $B$ et la base canonique ? 10. Exprimer $D$ en fonction de $P, \Lambda$ ct $P^{-1}$ er exprimer $A$ en fonction de $P^{P}, D$ ec $P^{-1}$. 11. Calcules $A^{n}$, pour tout $n \in \mathbb{N}^{*}$.
Solution
Step 1 ：\(B = A - I_3 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\)
Step 2 ：\(B^2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\)
Step 3 ：\(B^3 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\)
Step 4 ：\(B^n = \begin{cases} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, & \text{if } n = 1 \\ \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, & \text{if } n = 2 \\ \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, & \text{if } n \ge 3 \end{cases}\)
Step 5 ：\(\exp(B) = I_3 + B + \frac{1}{1 \cdot 2} B^2 + \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3} B^3 + \cdots = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} + \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \boxed{\begin{pmatrix} 1 & 1 & \frac{3}{2} \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}}\)
